Решение двадцать четвёртой проблемы Гильберта.

 

I.

Четвёртого июня 1925 года Давид Гильберт на съезде математиков, организованном

вестфальским математическим обществом в Мюнстере в память Карла Вейерштрасса,

выступил с докладом «О бесконечности».

Так к списку из 23-х нерешённых задач математики, озвученном им же

на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году, добавилась 24-я

проблема.

Бесконечна ли бесконечность? Именно с математической точки зрения.

Со времён Аристотеля бесконечность была разделена на потенциальную бесконечность и

актуальную бесконечность.

Яркий представитель потенциальной бесконечности - натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, …. , K, …., L, … , M, …, … N, N+1, N +2, …., ∞.

А существует ли Актуальная бесконечность?

О её существовании говорят парадоксы Галилео Галилея и Бернарда Больцано, теория

множеств Георга Кантора.

Рассмотрим одно из «доказательств» существования Актуальной бесконечности на основе

высшей математики.

Известна сумма первых натуральных чисел: S1 = N * (N +1) / 2,

где N – какое-либо натуральное число;

где S1 – сумма числового ряда, составленного из первых членов натурального ряда.

Известна сумма квадратов первых натуральных чисел: S2 = N * (N +1) * (2N + 1) / 6,

где S2 – сумма числового ряда, составленного из квадратов первых членов натурального

ряда.

Известна сумма кубов первых натуральных чисел: S3 = N2 * (N + 1)2 / 4 = (S1)2,

где S3 – сумма числового ряда, составленного из кубов первых членов натурального ряда.

Если ряд, составленный из кубов натуральных чисел:

13 + 23 + 33 + 43 + …. + N3 = S3

равен квадрату ряда натуральных чисел:

(1 + 2 + 3 + 4 + …. + N)2 = (S1)2,

1

 

 

то можно предположить, что сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в

какой-либо степени n равна сумме ряда, составленного из тех же натуральных чисел, но

уже в меньшей степени и так далее. Получается, что ряды сходятся.

Для доказательства воспользуемся формулой интегрирования:

∫ Nn dN = Nn+1 / (n +1)

Для более наглядного примера используем следующую формулу: ∫ Nn-1 dN = Nn / n

∑ Nn-1 = 1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + …. + Nn-1 = Sn-1,

где 1, 2, 3, … , N – натуральные числа;

n – степень, в которую возводятся натуральные числа

Sn-1 = ∑ Nn-1 – сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени.

1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + …. + Nn-1 = Sn-1

Sn-1 = (Nn / n) = Nn-1* N / n

Sn-1 / Nn-1 = N / n

При n = N →∞ Sn-1 / Nn-1 = N/N = 1

Следовательно, существует предел, к которому стремится отношение суммы числового

ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени, к последнему из членов

этого ряда, и этот предел стремится к единице.

На основе одного из парадоксов Галилея: «более длинный отрезок не содержит больше

точек, чем более короткий», - можно доказать, что вся Вселенная сходится в одну точку, а

точка становится всей Вселенной.