I.
Четвёртого июня 1925 года Давид Гильберт на съезде математиков, организованном
вестфальским математическим обществом в Мюнстере в память Карла Вейерштрасса,
выступил с докладом «О бесконечности».
Так к списку из 23-х нерешённых задач математики, озвученном им же
на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году, добавилась 24-я
проблема.
Бесконечна ли бесконечность? Именно с математической точки зрения.
Со времён Аристотеля бесконечность была разделена на потенциальную бесконечность и
актуальную бесконечность.
Яркий представитель потенциальной бесконечности - натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, …. , K, …., L, … , M, …, … N, N+1, N +2, …., ∞.
А существует ли Актуальная бесконечность?
О её существовании говорят парадоксы Галилео Галилея и Бернарда Больцано, теория
множеств Георга Кантора.
Рассмотрим одно из «доказательств» существования Актуальной бесконечности на основе
высшей математики.
Известна сумма первых натуральных чисел: S1 = N * (N +1) / 2,
где N – какое-либо натуральное число;
где S1 – сумма числового ряда, составленного из первых членов натурального ряда.
Известна сумма квадратов первых натуральных чисел: S2 = N * (N +1) * (2N + 1) / 6,
где S2 – сумма числового ряда, составленного из квадратов первых членов натурального
ряда.
Известна сумма кубов первых натуральных чисел: S3 = N2 * (N + 1)2 / 4 = (S1)2,
где S3 – сумма числового ряда, составленного из кубов первых членов натурального ряда.
Если ряд, составленный из кубов натуральных чисел:
13 + 23 + 33 + 43 + …. + N3 = S3
равен квадрату ряда натуральных чисел:
(1 + 2 + 3 + 4 + …. + N)2 = (S1)2,
1
то можно предположить, что сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в
какой-либо степени n равна сумме ряда, составленного из тех же натуральных чисел, но
уже в меньшей степени и так далее. Получается, что ряды сходятся.
Для доказательства воспользуемся формулой интегрирования:
∫ Nn dN = Nn+1 / (n +1)
Для более наглядного примера используем следующую формулу: ∫ Nn-1 dN = Nn / n
∑ Nn-1 = 1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + …. + Nn-1 = Sn-1,
где 1, 2, 3, … , N – натуральные числа;
n – степень, в которую возводятся натуральные числа
Sn-1 = ∑ Nn-1 – сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени.
1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + …. + Nn-1 = Sn-1
Sn-1 = (Nn / n) = Nn-1* N / n
Sn-1 / Nn-1 = N / n
При n = N →∞ Sn-1 / Nn-1 = N/N = 1
Следовательно, существует предел, к которому стремится отношение суммы числового
ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени, к последнему из членов
этого ряда, и этот предел стремится к единице.
На основе одного из парадоксов Галилея: «более длинный отрезок не содержит больше
точек, чем более короткий», - можно доказать, что вся Вселенная сходится в одну точку, а
точка становится всей Вселенной.
B
D
E
A
C
1
2
2
Возьмём треугольник ABC: основание треугольника – AC, стороны треугольника – AB и
BC. Произвольно соединим стороны AB и BC отрезком DE. Вершину B соединим
отрезками B1 и B2 с основанием AC.
На основании AC находятся четыре точки: A, 1, 2, C и на отрезке DE – четыре точки. Если
на основании AC расположено бесчисленное множество точек, соответственно, на отрезке
DE точек будет такое же количество.
На этом доказательство почему-то заканчивается. Но мы продолжим наши рассуждения.
Известно: на основании и на сторонах треугольника расположено бесчисленное
количество точек, которые по определению не имеют ни длины, ни площади, ни объёма.
Однако можно смело утверждать, что стороны и основание треугольника имеют как
бесчисленное количество точек, так и всего одну, в которой они сходятся.
Все точки основания AC сходятся в вершину B и становятся одной точкой B. Правда
точка AC теперь будет иметь длину ac. То же самое можно сказать о других сторонах
треугольника.
Кроме того, можно сказать, что все бесчисленные точки, находящиеся внутри
треугольника ABC сходятся в вершине B, и таким образом, все точки треугольника ABC
превращается в одну точку B, площадь которой равна площади всего треугольника.
От треугольника можно перейти к кубу, к любому другому объёмному телу.
В любом случае безразмерная точка становится или осязаемым телом или в безразмерную
точку сходится всё.
Эти два примера говорят о том, что просто так утверждать, что Актуальной бесконечности
не существует, - нельзя.
Таким образом, чтобы однозначно ответить на вопрос: существует ли Актуальная
бесконечность или нет, - надо всего лишь подсчитать, измерить бесконечность.
Или соизмерить бесконечность с чем-то бесконечным, но известным. Найти тот предел,
который ограничивает как бесконечный натуральный ряд чисел, так и все множества
счётные и несчётные.
II.
Приступим к решению этой задачи.
Итак, имеем натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, …. , K, …., L, … , M, …, … N, ….
Ряд, составленный из квадратов членов натурального ряда чисел:
12, 22, 32, 42, …. , K2, …., L2, … , M2, …, … N2, ….
Ряд, составленный из кубов членов натурального ряда чисел:
3
13, 23, 33, 43, …. , K3, …., L3, … , M3, …, … N3, ….
Ряд, составленный из n-степени членов натурального ряда чисел:
1n, 2n, 3n, 4n, …. , Kn, …., Ln, … , Mn, …, … Nn, ….
Соответственно, сумма ряда, составленного из членов натурального ряда чисел, равна:
11 + 21 + 31 + 41 + …. + K1 + ….+ L1 + … + M1 + …+ N1 = S1
Соответственно, сумма ряда, составленного из квадратов членов натурального ряда чисел,
равна:
12 + 22 + 32 + 42 + …. + K2 + ….+ L2 + … + M2 + …+ N2 = S2
Соответственно, сумма ряда, составленного из кубов членов натурального ряда чисел,
равна:
13 + 23 + 33 + 43 + …. + K3 + ….+ L3 + … + M3 + …+ N3 = S3
Соответственно, сумма ряда, составленного из n-степени членов натурального ряда чисел,
равна:
1n + 2n + 3n + 4n + …. + Kn + ….+ Ln + … + Mn + …+ Nn = Sn
Натуральный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, …. , K, …., L, … , M, …, … N, N+1, N +2, …., ∞
является счётным бесконечным множеством.
В наших дальнейших расчётах ограничимся каким-либо большим конечным числом N.
Обозначим подстрочным индексом “1” показатель степени, который имеет сумма членов
натурального ряда: S1 = 11 + 21 + 31 + … + N1;
подстрочным индексом “2” сумму квадратов членов натурального ряда:
S2 = 12 + 22 + 32 + … + N2;
подстрочным индексом “3” сумму кубов членов натурального ряда:
S3 = 13 + 23 + 33 + … + N3; соответственно,
подстрочным индексом “n” - сумму членов натурального ряда в “n” степени:
Sn = 1n + 2n + 3n+ … + Nn .
Сумма членов натурального ряда равна:
S1 = N * (N + 1) / 2 = (N2 + N + 1) / 2,
в то же время, интеграл ∫ Nn dN = Nn+1 / (n +1),
и таким образом, при N →∞, при первом приближении имеем:
4
S1 = 11 + 21 + 31 + … + N1 = ∑N1 = ∫ N dN = N2 / 2
S2 = 12 + 22 + 32 + … + N2 = ∑N2 = ∫ N2 dN = N3/ 3
S3 = 13 + 23 + 33 + … + N3 = ∑N3 = ∫ N3 dN = N4/ 4
S4 = 14 + 24 + 34 + … + N4 = ∑N4 = ∫ N4 dN = N5/ 5
S5 = 15 + 25 + 35 + … + N5 = ∑N5 = ∫ N5 dN = N6/ 6
S6 = 16 + 26 + 36 + … + N6 = ∑N6 = ∫ N6 dN = N7/ 7
S7 = 17 + 27 + 37 + … + N7 = ∑N7 = ∫ N7 dN = N8/ 8
………………………………….
Sn = 1n + 2n + 3n+ … + Nn = ∫ Nn dN = Nn+1/ (n+1)
Таким образом:
S1 = 11 + 21 + 31 + … + N1 = ∑N1 = ∫ N dN = N2 / 2
В то же время имеем:
S3 = 13 + 23 + 33 + … + N3 = ∫ N3 dN = N4/ 4 = (N2 / 2)2 = (∫N dN)2 =
= (11 + 21 + 31 + … + N1)2 = (S₁)².
S₃ = (S₁)².
Соответственно, ((S₁)2)2 = (S₁)4 = (N2 / 2)4 = N8 / 16 .
Но (N8/ 8) = ∫ N7 dN = ∑N7 = 17 + 27 + 37 + … + N7 = S7,
то есть S7 = (S3)2 * 2 =(( S1)2)2 *2 = (S₁)4 * 2
Следовательно: S7 = (S₁)4 * 2.
S7 = 17 + 27 + 37 + … + N7 = ∑N7 = ∫ N7 dN = N8/ 8
S15 = 115 + 215 + 315 + … + N15 = ∑N15 = ∫ N15 dN = N16/ 16
(S7)2 = (∫ N7 dN )2 = (N8/ 8)2 = (N16/16) / 4 = ¼ *∫ N15 dN = ¼* S15,
S15 = 4* (S7)2 = 22* (S7)2 = 22 * ((S₁)4 * 2)2 = 22 * (S₁)8 *22 = (S₁)8 *24,
Следовательно: S15 = (S₁)8 * 24.
S31 = 131 + 231 + 331 + … + N31 = ∑N31 = ∫ N31 dN = N32/ 32
(S15)2 = (N16/ 16)2 = (N32/32)/8 = 1/8*∫ N31 dN = 1/8* S31
S31 = 8* (S15)2 = 23* (S15)2
5
Следовательно: S31 = (S₁)16 * 211.
S63 = 163 + 263 + 363 + … + N63 = ∑N63 = ∫ N63 dN = N64/ 64
(S31)2 = (N32/ 32)2 = (N64/64)/16 = 1/16*∫ N63 dN = 1/16* S63
S63 = 16* (S31)2 = 24* (S31)2
Следовательно: S63 = (S₁)32 * 226.
S127 = 1127 + 2127 + 3127 + … + N127= ∑N127 = ∫ N127 dN = N128/ 128
(S63)2 = (∫N63 dN)2 = (N64/ 64)2 = (N128/128)/32 = 1/32*∫ N127 dN = 1/32* S127
S127 = 32* (S63)2 = 25* (S63)2 = 25 *((S₁)32 * 226)2 = * (S₁)64 * 252 *25 = (S₁)64 * 257,
Следовательно: S127 = (S₁)64 * 257,
но 257 = 264 – 7 = 264 /27 = 264 / (2*64) или 2n / 2n при n = 64;
соответственно, (2n -1) = 127, (n -1) = 63, n / 2 = 32.
S₂₅₅ = 64*(S₁₂₇)² = 2⁶ *((S₁)⁶⁴*257)2 = (S1)128 * 2120,
Следовательно: S₂₅₅ = (S1)128 * 2120.
Таким образом, получаем следующие общие формулы:
S2n-1 = (Sn-1)2 * n/2
(1)
S2n-1 = (S₁)n * 2n / 2n
(2)
или S2n-1 = (S₁)n * 2n – log22n (2a)
При n = N, из формулы (2), получаем:
S2N-1 = NN * (N + 1)N* 2N / 2N* 2N = NN * (N + 1)N / 2 N =
= (N + 1)N * N2N / (2*N * NN) = ½ * N2N-1 * (1 + 1/N)N,
Но lim (1 + 1/N)N при N → ∞ равен ℮,
следовательно: S2N-1 = N2N-1 * ½*℮ (3)
или S2N-1 / N2N-1 = ½*℮ (4)
Предел отношения S2N-1 / N2N-1 при N → ∞ равен ½ ℮ или ℮ / 2.
S2N -1 = 12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + …. + N2N -1 = ½ * ℮ * N2N-1 (5)
Предел отношения: S2N -1/ N2N-1 = (12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + …. + N2N -1) / N2N-1 =
6
= 12N -1/ N2N-1 + 22N -1/ N2N-1 + 32N -1 / N2N-1 + …. + N2N -1 / N2N-1 = 1,355682752166170 ≥ 1,
следовательно, при подсчёте предела отношения S2N-1 / N2N-1 можно пользоваться
формулой интегрирования: ∫ N2n-1dN.
Подсчитаем конечный предел отношения сразу по формуле интегрирования:
S2n-1 = ∑N2n-1 = ∫ N2n-1dN = N2n-1+1 / 2n-1+1 = N2n /2n,
S2n-1 = N2n /2n = (N2n-1 * N)/2n,
S2n-1 / N2n-1 = N / 2n, (6)
при n = N,
S2N-1 / N2N-1 = N / 2N = ½ (7)
Таким образом, предел, к которому стремится отношение S2N-1 / N2N-1 , равен 0,5.
Но S2N -1/ N2N-1 = (12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + …. + N2N -1) / N2N-1 всегда ≥ 1,
следовательно, при подсчёте предела отношения S2N-1 / N2N-1,
формула ∫ N2n-1dN оказывается неверной.
Разница двух пределов, посчитанных по одной и той же формуле, но разными способами
составляет:
(S
2N-1 / N2N-1 )(4) : ( S2N-1 / N2N-1)(6) = ½*℮ : ½ = ℮.
Какая формула правильная?
Чему равен предел отношений S2n-1 / N2n-1: ½ или ½ ℮?
Но что есть ℮?
Леонард Эйлер ввёл обозначение числа ℮. Но он не сказал, что ℮ - число, ℮ всего лишь
предел, который он и назвал буквой «℮».
Второй замечательный предел математики.
℮ = (1 + 1 / n)n = 2,711365504332330
℮ = (1 + 1 / n)n = (1 + 1 / N)N = (1 + N)N / NN
Обозначим буквой E выражение (1 + 1/N)N, то есть
E = (1 + 1/N)N.
E - функция. Каждому значению числа N соответствует определённое значение E.
EN = F (N).
При N → ∞ E = ℮
7
В то же время, сумма конечного числа ряда, составленного из последовательных
натуральных чисел, то есть арифметическая прогрессия- S1 – равна половине
произведения конечного числа на следующее за ним, то есть:
S1 = N * (N + 1) / 2,
Соответственно, (S1)N = (N * (N + 1) / 2)N = NN * (N + 1)N / 2N,
тогда NN = [2S1 /(N + 1)]N или NN = [2S1 /(N + 1)]N,
то ℮ = E = (1+1/N)N *N2N / N2N = (1+N)N * NN/N2N = 2N *( S1)N /N2N,
следовательно, при N →∞: ℮ = 2N *( S1)N /N2N (8)
или ℮ = 2N/N *( S1)N /N2N-1 (8a)
или ln ℮ = N * ln 2 + N * ln S1 - 2N * ln N
N * ln 2 + N * ln S1 - 2N * ln N = 1
N * ln 2 + N * ln N + N* ln (N + 1) – N* ln 2 - 2N * ln N = 1
N * (ln (N + 1) – ln N) = 1
ln (1 + 1 / N) = 1 / N
℮1/N = (1+ 1 / N)
℮ = (1 + 1 / N)1/N
Соответственно, при S2n-1 / N2n-1 = ℮ / 2 = 2N *( S1)N /(2*N2N) =
= (2N/2N) * (S1)N / N2N-1 = S2N-1 / N2N-1 получается совершенное тождество.
Чему равно отношение S2n-1 / (S1)n, то есть предел S2n-1 / (S1)n?
Так как (S1)n = Nn * (N + 1)n / 2n = Nn * (1 + 1/N)n * Nn / 2n , то
S2n-1 / (S1)n = 2n * S2n-1 / (Nn *(1+1/N)n * Nn) = 2n * S2n-1 / (N2n-1 * N * ℮)
При N = n → ∞
S2n-1 / (S1)n = 2n * S2n-1 / (N2n-1 * N * ℮) = (2n / n) * (S2n-1 / (N2n-1 ) / ℮. (9)
S2n-1 / (S1)n = 2n / n * (S2n-1 / (N2n-1) * 1 / ℮ (9a)
При S2n-1 / N2n-1 = ℮/2,
S2n-1 / (S1)n = (2n / n) * (S2n-1 / (N2n-1 ) / ℮ = (2n / 2n)
Будем считать, что подготовительная работа закончена и приступим к непосредственным
вычислениям.
8
Считаем, что
|S1| = 11 + 21 + 31 + … + N1 = ∑N1
|S2| = 12 + 22 + 32 + … + N2 = ∑N2
|S3 | = 13 + 23 + 33 + … + N3 = ∑N3
|S4| = 14 + 24 + 34 + … + N4 = ∑N4
………………………………….
|Sn| = 1n + 2n + 3n+ … + Nn
то есть суммы рядов, полученные при непосредственном подсчёте чисел.
Соответственно,
S1 = ∫ dN = N2 / 2
S2 = ∫ N2 dN = N3/ 3
S3 = ∫ N3 dN = N4/ 4
S4 = ∫ N4 dN = N5/ 5
………………………………….
Sn = ∫ Nn dN = Nn+1/ (n+1)
то есть суммы рядов, полученные расчётным путём с помощью формул:
S2n-1 = (Sn-1)2 * n/2
(1)
S2n-1 = (S₁)n * 2n / 2n
(2)
Из формулы (2) получается следующая формула:
S2n-1 / N2n-1 = N /2n *(1 + 1/N)n (10)
S2n-1 / N2n-1 = N /2n * E (11)
Благодаря этой формуле можно подсчитать отношение S2n-1 / N2n-1 при любом значении N
от N = 0 до N = ∞.
При n = N, S2n-1 / N2n-1 = 1 /2 * E
Расчёты будем проводить табличным способом и результаты расчётов сведём в таблицы.
9
Таблица №1. Отношение рассчитанных по формулам сумм числовых рядов,
составленных из членов натурального ряда, возведенных в 2n – 1 степень, к суммам
натурального ряда, возведённых в n степень, отношение S2n-1 / (S1)n.
№
N
N
n = 2
n = 4
n = 8
n = 16
n = 32
n = 64
2¹
2²
2³
2⁴
2⁵
2⁶
S₃/(S₁)² S₇/(S₁)⁴ S₁₅/(S₁)⁸ S₃₁/(S₁)¹⁶
S₆₃/(S₁)³²
S₁₂₇/(S₁)⁶⁴
1
1
2⁰
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
2
2
2¹
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
3
4
2²
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
4
8
2³
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
5
16
2⁴
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
6
32
2⁵
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
7
64
2⁶
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
8
128
2⁷
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
9
256
2⁸
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
10
512
2⁹
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
11
1024
2¹⁰
1
2
16
2048
67108864
1,44115E+17
lim
2⁰
2¹
2⁴
2¹¹
2²⁶
2⁵⁷
Таблица № 2. Отношение рассчитанных по формулам сумм числовых рядов,
составленных из членов натурального ряда, возведенных в 2n – 1 , к членам
натурального ряда, возведённых в 2n - 1 степень, отношение S2n-1 / N2n-1.
№
N
N
n = 2
n = 4
n = 8
n = 16
n = 32
n = 64
2¹
2²
2³
2⁴
2⁵
2⁶
S₃/N³
S₇/N⁷
S₁₅/N¹⁵
S₃₁/N³¹
S₆₃/N⁶³
S₁₂₇/N¹²⁷
1
1
2⁰
1
2
16
2048 67108864
1,4412E+17
2
2
2¹
1,125 1,265625 3,2036133 41,052552
13482,5 2908443326
3
4
2²
1,5625 1,220703 1,4901161 4,4408921
78,88609
49784,1222
4
8
2³
2,53125 1,601807 1,2828923 1,6458125
5,417398
117,392798
5
16
2⁴
4,515625 2,548859 1,6241701 1,3189642
1,739667
6,05288038
6
32
2⁵
8,507813
4,52393 2,5582424
1,636151
1,338495
1,79156904
7
64
2⁶
16,50391 8,511841 4,5282151 2,5630915
1,64236
1,34867248
8
128
2⁷
32,50195 16,50589 8,5138876 4,5303926
2,565557
1,6455209
9
256
2⁸
64,50098 32,50294
16,50689 8,5149189
4,53149
#ЧИСЛО!
10
512
2⁹
128,5005 64,50147 32,503431 16,507391
8,515437
#ЧИСЛО!
11 1024
2¹⁰
256,5002 128,5007 64,501712 32,503679
16,50764
10
При значении N ≥ 2⁸ = 256, - вычисления заканчиваются.
При малых значениях N, то есть при небольшом количестве членов рядов расчётные
значения отношений достигают огромных величин, что не соответствует реальным
значениям.
Таблица № 3. Отношение подсчитанных сумм числовых рядов, составленных из членов
натурального ряда, возведенных в 2n – 1 , к членам натурального ряда, возведённых в
2n - 1 степень, отношение |S2n-1| / N2n-1.
№
N
N
n = 2
n = 4
n = 8
n = 16
n = 32
n = 64
2¹
2²
2³
2⁴
2⁵
2⁶
|S₃|/N³
|S₇|/N⁷
|S₁₅|/N¹⁵ |S₃₁|/N³¹
|S₆₃|/N⁶³
|S₁₂₇|/N¹²⁷
1
1
2⁰
1
1
1
1
1
1
2
2
2¹
1,125
1,00781 1,000030
1
1
1
3
4
2²
1,5625
1,14135 1,013393
1,00013
1
1
4
8
2³
2,5312
1,57234 1,149195
1,01606
1,00022 1,000000043
5
16
2⁴
4,5156
2,53638 1,577210
1,15291
1,01737 1,000275689
6
32
2⁵
8,5078
4,51822 2,538947
1,57960
1,15473 1,018016724
7
64
2⁶
16,503
8,50911
4,51951
2,54022
1,58079 1,155628658
8
128
2⁷
32,501
16,5045 8,509763
4,52016
2,54085 1,581386293
9
256
2⁸
64,500
32,5022 16,50488
8,51008
4,52048
#ЧИСЛО!
10
512
2⁹
128,50
64,5011 32,50244
16,5050
8,51025
#ЧИСЛО!
11
1024
2¹⁰
256,50
128,500
64,5012
32,5025
16,5051
#ЧИСЛО!
Можно приблизительно, по аналогии, подсчитать значения |S2n-1 | / N2n-1 при n > 64,
но эти подсчёты будут не верны.
Рассмотрим значение отношения S149 / N149 , при значениях N = 75, n = 75.
Отношение суммы числового ряда, составленного из 75 первых членов в 149 степени к
числу 75149 равно: S149 / N149 = 1,155759496.
Похожее значение даёт отношение π к ℮, равное: π / ℮ = 1,1557273497909200
℮ / 2 = 1,3591409142295200
π / ℮ = 1,155727349790920
℮2 / 2π = 1,1760048029281300
Есть ли связь между π и отношением S2n-1 / N2n-1? Вопрос остаётся без ответа.
11
Таким образом, формулы, полученные при помощи формул математического
анализа, не позволяют правильно рассчитать значения отношений S2n-1 / N2n-1,
следовательно, они неверны при расчетах бесконечно больших величин.
Сравнение значений отношений S2n-1 / N2n-1, полученных по формулам и при
непосредственном подсчёте, не может дать однозначный ответ о существовании
актуальной бесконечности.
Выводы:
1. Недостаточная мощность компьютера не позволяет непосредственно подсчитать
пределы отношений |S2n-1 | / N2n-1 при значениях N ≥ 2⁸ = 256.
2. Вычисления пределов S2n-1 / N2n-1, подсчитанных по формулам, не могут считаться
точными, так как при значении N = 1, значения пределов должны быть равны 1, а
не значениям 2N / 2N, то есть значениям пределов, к которым стремятся отношения
S2n-1 / (S1)n.
Конечно, можно доказать, что lim |S2n-1 | / N2n-1 → S2n-1 / N2n-1и в бесконечности
при n = N → ∞, пределы отношений |S2n-1| / (S1)n → S2n-1 / (S1)n.
3. Положительным результатом является то, что значения отношений S2n-1 / N2n-1
при увеличении значений N и n приближаются к какому-то определённому
значению, следовательно, существует предел отношений S2n-1 / N2n-1, к которому
приближаются значения S2n-1 / N2n-1 при увеличении значений N и n.
III.
Так как непосредственно подсчитать бесконечно большие числовые ряды не
удаётся, то надо искать предел, к которому стремятся значения этих отношений.
Прежде, чем продолжим наши расчёты, рассмотрим формулы, полученные нами.
Формулы.
N + 1 = N * (1 + 1/N)
S1 = N * (N + 1) / 2 = N * N * (1 + 1/N) = N2 * (1 +1/N) / 2
2 * (S1) / N = N * (1 + 1/ N) = N + 1
N + 1 = 2 * (S1) / N
Каждое последующее число – N +1 - равно удвоенному частному от деления суммы
натурального ряда на число. Отсюда связь бесконечного с конечным числом, связь
бесконечности и конечного.
N = 2 * (S1) / N – 1
Само число N равняется удвоенному частному от деления суммы натурального ряда
на само себя за вычетом единицы.
12
1 = 2 * (S1) / N – N
Единица или число 1 равно разности удвоенного частного от деления суммы
натурального ряда на число и самого числа.
Раннее была получена формула ℮ = 2N *( S1)N /N2N
Из формулы ℮ = 2N *( S1)N /N2N получаем:
S1 = ½ * N2 * N√℮
N2 = 2* S1 / N√℮
N = √2 * √(S1) / ²N√℮
S1/N = ½ * N * N√℮ или N + 1 = N * N√℮
N * (N√℮ - 1) = 1
N = 1 / (N√℮ - 1)
℮ = (1 + 1/ N)N = ((1 + N) / N)N,
следовательно: ℮1/N = (1 + N) / N
или: 1 / N = ln ((1 + N) / N).
Соответственно,
1 / N = logE ((1 + N) / N))
N * ((logE (1 + N) - logE N)) = 1
N = 1 / (logE ((1 + N) / N)))
Выводы:
Если ℮ трансцендентное число, то корень N степени из трансцендентного числа – число
рациональное, так как N –натуральное число.
N√℮ = (1 + 1/N)
℮1/N = (1 + 1/N)
ln (1 + 1 / N) = 1 / N
℮ = ((N +1) / N)N при N → ∞
℮ - не число, ℮ - функция, функция от N и правильно писать ℮=f(N) или ℮(N)
13
℮ = (1 + 1 / n)n = (1 + 1 / N)N = (1 + N)N / NN = 2,711365504332330 с точностью до 15 знака
после запятой, так как шестнадцатиразрядный компьютер с большей точностью не
считает.
Обозначим (1 + 1 / N)N = E.
E – всегда рациональное число, при N → ∞ значение его приближается к ℮, но оно
остаётся всегда конкретным числом, в отличии от ℮.
E = (1 + 1/N)N
E1/N = (1 + 1 / N) = (1 + N) / N
logE (1 + 1 / N) = 1 / N
N = 1 / logE (1 + 1 / N)
N + 1 = N * E1/N
E = (1 + 1/N)N = 2N *( S1)N / N2N - является совершенным тождеством,
при N →∞ E = ℮
= ℮ = E.
График № 1. Значения ℮ и Е.
3
2,5
2
1,5
Ряд1
Ряд2
1
0,5
0
2⁰ 2³ 2⁶ 2⁹ 2¹² 2¹⁵ 2¹⁸ 2²¹ 2²⁴ 2²⁷ 2³⁰ 2³³ 2³⁶ 2³⁹ 2⁴² 2⁴⁵ 2⁴⁸
N
14
Ряд 1 – значения Е, где E = (1 + 1 / N) N
Ряд 2 – значения ℮
где ℮ =
= 2,711365504332330
Только при числе N≥ 247 E становится равным ℮.
Но это вызвано только мощностью шестнадцатиразрядного компьютера.
При числе N ≥ 140737488355328 = 1,40737 * 1014 формулы, где присутствует ℮, становятся
безусловно верными. При числах, меньших 140737488355328, - сказать этого нельзя. Все
вычисления будут приближёнными с разной степенью точности, даже вне зависимости от
мощности и производительности вычислительной техники. Можно предположить, что
число, большее 140737488355328, - и является ∞ в формулах.
Если рассматривать прямоугольный треугольник ABC, где AB – гипотенуза, BC и AC –
катеты, а α – угол при вершине A,
то cos-1α = (N + 1) / N = (1+ 1 / N) = 2S1 / N2 = N√℮
cos α = N2 / 2S1 = 1 / N√℮
cos α = 1 / N√℮
N = √(2S1 * cos α)
℮ = 1 / cosN α
Вывод: между ℮ и π нет явно видимой связи.
IV.
Подсчитаем значения суммы числовых рядов S2n-1, N2n-1, (S1)n, En при значениях N = n
от 1 до максимально возможных для расчёта на шестнадцатиразрядном компьютере, то
есть до N = 82.
Таблица № 4. Подсчитанные значения S2n-1 / N2n-1, S2n-1 / (S1)n, En / 2, 2n / 2n, α.
№№
N
n
S2n-1 / N²ⁿ⁻¹
EN / 2
S2n-1/ (S₁)ⁿ
2ⁿ / 2n
α
1
1
1
1
1
1
1
1,000000
2
2
2
1,125
1,125
1
1
1,000000
3
3
3
1,1358025
1,1851852
1
1
0,958333
4
4
4
1,1413574
1,2207031
1,87
2
0,935000
5
5
5
1,1445581
1,2441600 2,943822222
3,2
0,919944
6
6
6
1,1466429
1,2608132 4,850384699
5,333333333
0,909447
7
7
7
1,1481087
1,2732498
8,24425319
9,142857143
0,901715
8
8
8
1,1491956
1,2828923 14,33255903
16
0,895785
9
9
9
1,1500336
1,2905874 25,34664937
28,44444444
0,891093
10
10
10
1,1506995
1,2968712 45,42919183
51,2
0,887289
15
11
11
11
1,1512413
1,3020995 82,30561297
93,09090909
0,884142
12
12
12
1,1516908
1,3065176 150,4420774
170,6666667
0,881497
13
13
13
1,1520697
1,3103004 277,0285115
315,0769231
0,879241
14
14
14
1,1523935
1,3135758 513,3429081
585,1428571
0,877295
15
15
15
1,1526733
1,3164394 956,3878574
1092,266667
0,875599
16
16
16
1,1529176
1,3189642 1790,173734
2048
0,874108
17
17
17
1,1531326
1,3212072 3364,645727
3855,058824
0,872787
18
18
18
1,1533235
1,3232129 6346,858491
7281,777778
0,871608
19
19
19
1,1534939
1,3250172 12011,02645
13797,05263
0,870550
20
20
20
1,1536471
1,3266489 22795,90893
26214,4
0,869595
21
21
21
1,1537855
1,3281316 43377,50673
49932,19048
0,868728
22
22
22
1,1539112
1,3294849 82736,31855
95325,09091
0,867939
23
23
23
1,1540258
1,3307251 158146,3798
182361,0435
0,867216
24
24
24
1,1541308
1,3318656 302881,8637
349525,3333
0,866552
25
25
25
1,1542273
1,3329182 581122,5468
671088,64
0,865940
26
26
26
1,1543162
1,3338925 1116813,163
1290555,077
0,865374
27
27
27
1,1543986
1,3347970 2149595,201
2485513,481
0,864850
28
28
28
1,1544750
1,3356389 4143308,787
4793490,286
0,864362
29
29
29
1,1545460
1,3364246 7996660,946
9256395,034
0,863907
30
30
30
1,1546123
1,3371594 15452602,49
17895697,07
0,863481
31
31
31
1,1546743
1,3378482 29894469,93
34636833,03
0,863083
32
32
32
1,1547324
1,3384951 57895453,56
67108864
0,862709
33
33
33
1,1547869
1,3391038 112236347,7
130150524,1
0,862358
34
34
34
1,1548382
1,3396777 217786900,2
252645135,1
0,862027
35
35
35
1,1548866
1,3402196 422975444,6
490853405,3
0,861714
36
36
36
1,1549322
1,3407322 822170315,3
954437176,9
0,861419
37
37
37
1,1549753
1,3412177
1599379577
1857283155
0,861139
38
38
38
1,1550162
1,3416783
3113622266
3616814565
0,860874
39
39
39
1,1550550
1,3421158
6065797251
7048151460
0,860622
40
40
40
1,1550918
1,3425319 11825015321 13743895347
0,860383
41
41
41
1,1551268
1,3429282 23067091384 26817356775
0,860155
42
42
42
1,1551601
1,3433060 45024382921 52357696561
0,859938
43
43
43
1,1551919
1,3436665 87933423110
1,0228E+11
0,859731
44
44
44
1,1552222
1,3440111
1,7183E+11
1,99911E+11
0,859533
45
45
45
1,1552511
1,3443406
3,3595E+11
3,90937E+11
0,859344
46
46
46
1,1552788
1,3446561
6,57155E+11
7,64878E+11
0,859163
47
47
47
1,1553053
1,3449584
1,28609E+12
1,49721E+12
0,858990
48
48
48
1,1553307
1,3452483
2,5181E+12
2,93203E+12
0,858823
49
49
49
1,1553551
1,3455266
4,9325E+12
5,74439E+12
0,858664
50
50
50
1,1553784
1,3457940
9,66597E+12
1,1259E+13
0,858511
51
51
51
1,1554009
1,3460511
1,89496E+13
2,20765E+13
0,858363
52
52
52
1,1554225
1,3462985
3,71643E+13
4,33038E+13
0,858222
53
53
53
1,1554432
1,3465367
7,29146E+13
8,49736E+13
0,858085
54
54
54
1,1554632
1,3467662
1,43107E+14
1,668E+14
0,857954
55
55
55
1,1554825
1,3469875
2,80968E+14
3,27535E+14
0,857827
56
56
56
1,1555011
1,3472010
5,51823E+14
6,43371E+14
0,857705
16
57
57
57
1,1555190
1,3474072
1,08413E+15
1,26417E+15
0,857587
58
58
58
1,1555363
1,3476064
2,1306E+15
2,48474E+15
0,857473
59
59
59
1,1555530
1,3477989
4,18844E+15
4,88526E+15
0,857363
60
60
60
1,1555691
1,3479851
8,23625E+15
9,60768E+15
0,857257
61
61
61
1,1555848
1,3481652
1,62005E+16
1,89004E+16
0,857154
62
62
62
1,1555999
1,3483397
3,18747E+16
3,7191E+16
0,857054
63
63
63
1,1556145
1,3485087
6,27305E+16
7,32014E+16
0,856957
64
64
64
1,1556287
1,3486725
1,23487E+17
1,44115E+17
0,856864
65
65
65
1,1556424
1,3488313
2,43149E+17
2,83796E+17
0,856773
66
66
66
1,1556557
1,3489854
4,7888E+17
5,58992E+17
0,856685
67
67
67
1,1556686
1,3491349
9,43372E+17
1,1013E+18
0,856600
68
68
68
1,1556812
1,3492801
1,85882E+18
2,17021E+18
0,856517
69
69
69
1,1556933
1,3494211
3,66341E+18
4,27751E+18
0,856436
70
70
70
1,1557051
1,3495582
7,22149E+18
8,4328E+18
0,856358
71
71
71
1,1557166
1,3496914
1,42383E+19
1,66281E+19
0,856282
72
72
72
1,1557278
1,3498210
2,80787E+19
3,27942E+19
0,856208
73
73
73
1,1557387
1,3499471
5,53834E+19
6,469E+19
0,856136
74
74
74
1,1557492
1,3500698
1,09261E+20
1,27632E+20
0,856066
75
75
75
1,1557595
1,3501893
2,15591E+20
2,5186E+20
0,855998
76
76
76
1,1557695
1,3503057
4,25476E+20
4,97091E+20
0,855932
77
77
77
1,1557793
1,3504191
8,39838E+20
9,81271E+20
0,855867
78
78
78
1,1557888
1,3505296
1,65802E+21
1,93738E+21
0,855804
79
79
79
1,1557980
1,3506374
3,27383E+21
3,82571E+21
0,855743
80
80
80
1,1558070
1,3507425
6,46536E+21
7,55579E+21
0,855683
81
81
81
1,1558158
1,3508450
1,27702E+22
1,4925E+22
0,855624
График № 2.
1,6
1,4
1,2
1
0,8
Ряд1
Ряд2
0,6
0,4
0,2
0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд 1 – значения E / 2
17
Ряд 2 – значения S2n-1 / N2n-1
Предел отношений S2n-1 / N2n-1 не стремиться к E / 2, он меньше E / 2,
то есть при n и N → ∞ lim S2n-1 / N2n-1 = α * E / 2, где α ≤ 1.
Соответственно, предел отношений S2n-1/ (S₁)ⁿ не стремиться к 2ⁿ / 2n, он меньше 2ⁿ / 2n,
то есть при n и N → ∞ lim S2n-1/ (S₁)ⁿ = α * 2ⁿ / 2n, где α ≤ 1.
(EN / 2) / ((S2n-1 / N²ⁿ⁻¹)) = (2ⁿ / 2n) / ((S2n-1/ (S₁)ⁿ)
При N = 80 S159 / N159 = 1,155807034519630
α = 0,8556827521661650
E / 2α = S159 / N159 = 1,155807034519630
1 / α = 1,168657422939160
1 – α = 0,1443172478338350
Обозначим разницу между E / 2 и S2n-1 / N2n-1 Δ, то есть
Δ = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 .
Тогда E / 2 = S2n-1 / N2n-1 + (E / 2 - S2n-1 / N2n-1).
При увеличении N, значения S2n-1 / N2n-1 и Δ = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 увеличиваются,
но увеличиваться они не могут беспредельно, так как сумма S2n-1 / N2n-1 и
Δ = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 всегда равна E / 2 и является совершенным тождеством.
S2n-1 / N2n-1 + ( E / 2 - S2n-1 / N2n-1) = E / 2 ,
где E = (1 + 1 / N)N
Для упрощения громоздких обозначений, введём следующие обозначения:
A = S2n-1 / N2n-1
B = (E/2) / (S2n-1 / N2n-1)
a = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 = E / 2 – A
b = E/ 2 - (E / 2) / (S2n-1 / N2n-1) = E / 2 – B
A * B = E / 2
B – A = a – b
A + a = A * B
B + b = A * B
18
A = √ (E / 2) * √(A / B)
B = √ (E / 2) / √(A / B)
Таблица № 5.
№№
N
E
E / 2 = A * B
A
B
a
b
1
1
2
1
1
1
0
0
2
2 2,250000
1,125000
1,125000
1,000000
0
0,125
3
3 2,370370
1,185185
1,135802
1,043478
0,049383
0,141707
4
4 2,441406
1,220703
1,141357
1,069519
0,079346
0,151184
5
5 2,488320
1,244160
1,144558
1,087022
0,099602
0,157138
6
6 2,521626
1,260813
1,146643
1,099569
0,114170
0,161244
7
7 2,546500
1,273250
1,148109
1,108998
0,125141
0,164252
8
8 2,565785
1,282892
1,149196
1,116339
0,133697
0,166553
9
9 2,581175
1,290587
1,150034
1,122217
0,140554
0,168370
10
10 2,593742
1,296871
1,150699
1,127029
0,146172
0,169843
11
11 2,604199
1,302100
1,151241
1,131040
0,150858
0,171060
12
12 2,613035
1,306518
1,151691
1,134434
0,154827
0,172083
13
13 2,620601
1,310300
1,152070
1,137345
0,158231
0,172956
14
14 2,627152
1,313576
1,152393
1,139867
0,161182
0,173708
15
15 2,632879
1,316439
1,152673
1,142075
0,163766
0,174364
16
16 2,637928
1,318964
1,152918
1,144023
0,166047
0,174941
17
17 2,642414
1,321207
1,153133
1,145755
0,168075
0,175452
18
18 2,646426
1,323213
1,153323
1,147304
0,169889
0,175909
19
19 2,650034
1,325017
1,153494
1,148699
0,171523
0,176318
20
20 2,653298
1,326649
1,153647
1,149961
0,173002
0,176688
21
21 2,656263
1,328132
1,153786
1,151108
0,174346
0,177024
22
22 2,658970
1,329485
1,153911
1,152155
0,175574
0,177330
23
23 2,661450
1,330725
1,154026
1,153116
0,176699
0,177610
24
24 2,663731
1,331866
1,154131
1,153999
0,177735
0,177867
25
25 2,665836
1,332918
1,154227
1,154814
0,178691
0,178104
26
26 2,667785
1,333892
1,154316
1,155569
0,179576
0,178323
27
27 2,669594
1,334797
1,154399
1,156270
0,180398
0,178527
28
28 2,671278
1,335639
1,154475
1,156923
0,181164
0,178716
29
29 2,672849
1,336425
1,154546
1,157533
0,181879
0,178892
30
30 2,674319
1,337159
1,154612
1,158102
0,182547
0,179057
31
31 2,675696
1,337848
1,154674
1,158637
0,183174
0,179211
32
32 2,676990
1,338495
1,154732
1,159139
0,183763
0,179356
33
33 2,678208
1,339104
1,154787
1,159611
0,184317
0,179493
34
34 2,679355
1,339678
1,154838
1,160057
0,184839
0,179621
35
35 2,680439
1,340220
1,154887
1,160477
0,185333
0,179742
36
36 2,681464
1,340732
1,154932
1,160875
0,185800
0,179857
37
37 2,682435
1,341218
1,154975
1,161252
0,186242
0,179965
38
38 2,683357
1,341678
1,155016
1,161610
0,186662
0,180068
39
39 2,684232
1,342116
1,155055
1,161950
0,187061
0,180166
19
40
40 2,685064
1,342532
1,155092
1,162273
0,187440
0,180259
41
41 2,685856
1,342928
1,155127
1,162581
0,187801
0,180347
42
42 2,686612
1,343306
1,155160
1,162874
0,188146
0,180432
43
43 2,687333
1,343667
1,155192
1,163154
0,188475
0,180512
44
44 2,688022
1,344011
1,155222
1,163422
0,188789
0,180589
45
45 2,688681
1,344341
1,155251
1,163678
0,189089
0,180662
46
46 2,689312
1,344656
1,155279
1,163923
0,189377
0,180733
47
47 2,689917
1,344958
1,155305
1,164158
0,189653
0,180800
48
48 2,690497
1,345248
1,155331
1,164384
0,189918
0,180865
49
49 2,691053
1,345527
1,155355
1,164600
0,190172
0,180927
50
50 2,691588
1,345794
1,155378
1,164808
0,190416
0,180986
51
51 2,692102
1,346051
1,155401
1,165008
0,190650
0,181043
52
52 2,692597
1,346298
1,155422
1,165200
0,190876
0,181098
53
53 2,693073
1,346537
1,155443
1,165385
0,191093
0,181151
54
54 2,693532
1,346766
1,155463
1,165564
0,191303
0,181202
55
55 2,693975
1,346988
1,155482
1,165736
0,191505
0,181252
56
56 2,694402
1,347201
1,155501
1,165902
0,191700
0,181299
57
57 2,694814
1,347407
1,155519
1,166062
0,191888
0,181345
58
58 2,695213
1,347606
1,155536
1,166217
0,192070
0,181389
59
59 2,695598
1,347799
1,155553
1,166367
0,192246
0,181432
60
60 2,695970
1,347985
1,155569
1,166512
0,192416
0,181473
61
61 2,696330
1,348165
1,155585
1,166652
0,192580
0,181513
62
62 2,696679
1,348340
1,155600
1,166788
0,192740
0,181552
63
63 2,697017
1,348509
1,155614
1,166919
0,192894
0,181590
64
64 2,697345
1,348672
1,155629
1,167047
0,193044
0,181626
65
65 2,697663
1,348831
1,155642
1,167170
0,193189
0,181661
66
66 2,697971
1,348985
1,155656
1,167290
0,193330
0,181695
67
67 2,698270
1,349135
1,155669
1,167406
0,193466
0,181729
68
68 2,698560
1,349280
1,155681
1,167519
0,193599
0,181761
69
69 2,698842
1,349421
1,155693
1,167629
0,193728
0,181792
70
70 2,699116
1,349558
1,155705
1,167736
0,193853
0,181822
71
71 2,699383
1,349691
1,155717
1,167839
0,193975
0,181852
72
72 2,699642
1,349821
1,155728
1,167940
0,194093
0,181881
73
73 2,699894
1,349947
1,155739
1,168038
0,194208
0,181909
74
74 2,700140
1,350070
1,155749
1,168134
0,194321
0,181936
75
75 2,700379
1,350189
1,155759
1,168227
0,194430
0,181962
76
76 2,700611
1,350306
1,155770
1,168317
0,194536
0,181988
77
77 2,700838
1,350419
1,155779
1,168406
0,194640
0,182013
78
78 2,701059
1,350530
1,155789
1,168492
0,194741
0,182038
79
79 2,701275
1,350637
1,155798
1,168576
0,194839
0,182062
80
80 2,701485
1,350742
1,155808
1,168657
0,194935
0,182086
N
N
2,718282
1,359141
1,165822
1,165822
0,193319
0,193319
20
Таблица № 6.
№№
N
E
E / 2
A
B
(A + B) / 2
√ (E / 2)
% Δ
0,000%
1
1
2
1
1
1
1
1
0,173%
2
2
2
1,125
1,125
1
1,0625 1,060660
0,090%
3
3
2,086957
1,185185
1,135802 1,043478
1,089640 1,088662
0,053%
4
4
2,139037
1,220703
1,141357 1,069519
1,105438 1,104854
0,033%
5
5
2,174044
1,244160
1,144558 1,087022
1,115790 1,115419
0,022%
6
6
2,199138
1,260813
1,146643 1,099569
1,123106 1,122859
0,015%
7
7
2,217995
1,273250
1,148109 1,108998
1,128553 1,128384
0,011%
8
8
2,232679
1,282892
1,149196 1,116339
1,132767 1,132648
0,007%
9
9
2,244434
1,290587
1,150034 1,122217
1,136125 1,136040
0,005%
10
10
2,254057
1,296871
1,150699 1,127029
1,138864 1,138803
0,004%
11
11
2,262079
1,302100
1,151241 1,131040
1,141140 1,141096
0,003%
12
12
2,268869
1,306518
1,151691 1,134434
1,143063 1,143030
0,002%
13
13
2,274689
1,310300
1,152070 1,137345
1,144707 1,144684
0,001%
14
14
2,279735
1,313576
1,152393 1,139867
1,146130 1,146113
0,001%
15
15
2,284150
1,316439
1,152673 1,142075
1,147374 1,147362
0,001%
16
16
2,288046
1,318964
1,152918 1,144023
1,148470 1,148462
0,001%
17
17
2,291509
1,321207
1,153133 1,145755
1,149444 1,149438
0,000%
18
18
2,294609
1,323213
1,153323 1,147304
1,150314 1,150310
0,000%
19
19
2,297398
1,325017
1,153494 1,148699
1,151096 1,151094
0,000%
20
20
2,299921
1,326649
1,153647 1,149961
1,151804 1,151802
0,000%
21
21
2,302216
1,328132
1,153786 1,151108
1,152447 1,152446
0,000%
22
22
2,304311
1,329485
1,153911 1,152155
1,153033 1,153033
0,000%
23
23
2,306231
1,330725
1,154026 1,153116
1,153571 1,153571
0,000%
24
24
2,307998
1,331866
1,154131 1,153999
1,154065 1,154065
0,000%
25
25
2,309629
1,332918
1,154227 1,154814
1,154521 1,154521
0,000%
26
26
2,311139
1,333892
1,154316 1,155569
1,154943 1,154943
21
0,000%
27
27
2,312541
1,334797
1,154399 1,156270
1,155335 1,155334
0,000%
28
28
2,313847
1,335639
1,154475 1,156923
1,155699 1,155698
0,000%
29
29
2,315065
1,336425
1,154546 1,157533
1,156039 1,156038
0,000%
30
30
2,316205
1,337159
1,154612 1,158102
1,156357 1,156356
0,000%
31
31
2,317274
1,337848
1,154674 1,158637
1,156656 1,156654
0,000%
32
32
2,318278
1,338495
1,154732 1,159139
1,156936 1,156933
0,000%
33
33
2,319222
1,339104
1,154787 1,159611
1,157199 1,157197
0,000%
34
34
2,320113
1,339678
1,154838 1,160057
1,157447 1,157444
0,000%
35
35
2,320955
1,340220
1,154887 1,160477
1,157682 1,157679
0,000%
36
36
2,321751
1,340732
1,154932 1,160875
1,157904 1,157900
0,000%
37
37
2,322505
1,341218
1,154975 1,161252
1,158114 1,158110
0,000%
38
38
2,323220
1,341678
1,155016 1,161610
1,158313 1,158308
0,000%
39
39
2,323899
1,342116
1,155055 1,161950
1,158502 1,158497
0,000%
40
40
2,324546
1,342532
1,155092 1,162273
1,158682 1,158677
0,001%
41
41
2,325162
1,342928
1,155127 1,162581
1,158854 1,158848
0,001%
42
42
2,325749
1,343306
1,155160 1,162874
1,159017 1,159011
0,001%
43
43
2,326309
1,343667
1,155192 1,163154
1,159173 1,159166
0,001%
44
44
2,326844
1,344011
1,155222 1,163422
1,159322 1,159315
0,001%
45
45
2,327356
1,344341
1,155251 1,163678
1,159465 1,159457
0,001%
46
46
2,327847
1,344656
1,155279 1,163923
1,159601 1,159593
0,001%
47
47
2,328317
1,344958
1,155305 1,164158
1,159732 1,159723
0,001%
48
48
2,328767
1,345248
1,155331 1,164384
1,159857 1,159848
0,001%
49
49
2,329200
1,345527
1,155355 1,164600
1,159978 1,159968
0,001%
50
50
2,329616
1,345794
1,155378 1,164808
1,160093 1,160084
0,001%
51
51
2,330016
1,346051
1,155401 1,165008
1,160204 1,160194
0,001%
52
52
2,330400
1,346298
1,155422 1,165200
1,160311 1,160301
0,001%
53
53
2,330771
1,346537
1,155443 1,165385
1,160414 1,160404
22
0,001%
54
54
2,331128
1,346766
1,155463 1,165564
1,160514 1,160503
0,001%
55
55
2,331472
1,346988
1,155482 1,165736
1,160609 1,160598
0,001%
56
56
2,331804
1,347201
1,155501 1,165902
1,160702 1,160690
0,001%
57
57
2,332125
1,347407
1,155519 1,166062
1,160791 1,160779
0,001%
58
58
2,332435
1,347606
1,155536 1,166217
1,160877 1,160864
0,001%
59
59
2,332734
1,347799
1,155553 1,166367
1,160960 1,160947
0,001%
60
60
2,333024
1,347985
1,155569 1,166512
1,161040 1,161028
0,001%
61
61
2,333304
1,348165
1,155585 1,166652
1,161118 1,161105
0,001%
62
62
2,333575
1,348340
1,155600 1,166788
1,161194 1,161180
0,001%
63
63
2,333838
1,348509
1,155614 1,166919
1,161267 1,161253
0,001%
64
64
2,334093
1,348672
1,155629 1,167047
1,161338 1,161324
0,001%
65
65
2,334340
1,348831
1,155642 1,167170
1,161406 1,161392
0,001%
66
66
2,334580
1,348985
1,155656 1,167290
1,161473 1,161458
0,001%
67
67
2,334813
1,349135
1,155669 1,167406
1,161537 1,161523
0,001%
68
68
2,335039
1,349280
1,155681 1,167519
1,161600 1,161585
0,001%
69
69
2,335258
1,349421
1,155693 1,167629
1,161661 1,161646
0,001%
70
70
2,335471
1,349558
1,155705 1,167736
1,161720 1,161705
0,001%
71
71
2,335679
1,349691
1,155717 1,167839
1,161778 1,161762
0,001%
72
72
2,335881
1,349821
1,155728 1,167940
1,161834 1,161818
0,001%
73
73
2,336077
1,349947
1,155739 1,168038
1,161889 1,161872
0,001%
74
74
2,336268
1,350070
1,155749 1,168134
1,161942 1,161925
0,001%
75
75
2,336454
1,350189
1,155759 1,168227
1,161993 1,161976
0,001%
76
76
2,336635
1,350306
1,155770 1,168317
1,162043 1,162027
0,001%
77
77
2,336811
1,350419
1,155779 1,168406
1,162092 1,162075
0,001%
78
78
2,336984
1,350530
1,155789 1,168492
1,162140 1,162123
0,002%
79
79
2,337151
1,350637
1,155798 1,168576
1,162187 1,162169
0,002%
80
80
2,337314
1,350742
1,155808 1,168657
1,162232 1,162214
N
N
2,718282
1,359141
1,165822
23
График № 3.
1,2
1,15
1,1
1,05
Ряд1
Ряд2
1
0,95
0,9
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд 1 – значения √ (E / 2)
Ряд 2 – значения (A + B) / 2
График № 4.
1,2
1,15
1,1
Ряд1
1,05
Ряд2
1
Ряд3
0,95
0,9
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд 1 – значения B
Ряд 2 – значения √ (E / 2)
Ряд 3 – значения A
24
Решение уравнения (A + B) / 2 = √ (E / 2)
[(A + B) / 2]2 = [√ (E / 2)]2
A2 + 2 * A * E / 2A + [E / 2A]2 = 2 * E
4 * A4 + 4 * A2 * E + E2 = 8 * A2 * E
4 * A4 - 4 * A2 * E + E2 = 0
A4 - A2 * E + ¼ * E2 = 0
A2 = E / 2
A = √ (E / 2)
В = (E / 2) / A = √ (E / 2)
A = B
Но A ≠ B
Решение не верно.
График № 5.
0,080000
0,060000
0,040000
0,020000
Ряд1
0,000000
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77
Ряд2
-0,020000
-0,040000
-0,060000
-0,080000
Ряд 1 – значения ΔA = √ (E / 2) - A
Ряд 2 – значения ΔB = √ (E / 2) - B
Линией симметрии является функция √ (E / 2)
25
Решение.
ΔA = √ (E / 2) – A = - ΔB = √ (E / 2) - B
√ (E / 2) – A = - √ (E / 2) + B
2 * A2 – 4* A * √ (E / 2) + E = 0
A2 – 2* A * √ (E / 2) + ½ * E = 0
A = √ (E / 2 ± √ (E / 2 – E / 2) = √ (E / 2
A = √ (E / 2)
B = √ (E / 2)
Но A ≠ B
Решение не верно.
V.
Как найти верное решение?
Рассмотрим формулу E = (1 + 1 / N)N
E1/N = (1 + 1 / N)
1 / N = logE ((1 + N) / N))
N * ((logE (1 + N) - logE N)) = 1
N = 1 / (logE ((1 + N) / N))
При N = n → ∞ 1 / N = ln ((1 + N) / N)
Прологарифмируем значения S2n-1 / N2n-1 по основаниям ℮ и Е.
Из значений E, E / 2, S2n-1 / N2n-1, E/ 2 - S2n-1 / N2n-1, (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2),
logE S2n-1 / N2n-1 и ln S2n-1 / N2n- составим следующую таблицу.
26
Таблица № 7. Значения E, E / 2, S2n-1 / N2n-1, (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2),
logE S2n-1 / N2n-1, ln S2n-1 / N2n-1.
/ 2)
¹)
E
¹)
⁻
⁻
/ (
ⁿ
¹)
)
¹
¹)
⁻
N
⁻
/ N²ⁿ
⁻
²ⁿ
/1
/ N²ⁿ
1 -
N/
N
+
1
E /2
/ N²ⁿ
-
2n
/ N²ⁿ
1
1
-
(
1 -
2n
(S
1 -
n2
=
-
2n
(S
2n
S(
E
S
E
(S
-
ln
log
(E / 2)
/ 2)
(E
1
2
1
1
0
0
0
0
2
2,25000 1,125000
1,125000
0,145244
0
0 0,117783
3
2,37037 1,185185
1,135802
0,147546 0,049383 0,041667 0,127339
4
2,44141 1,220703
1,141357
0,148131 0,079346
0,065 0,132218
5
2,48832 1,244160
1,144558
0,148110 0,099602 0,080056 0,135019
6
2,52163 1,260813
1,146643
0,147949
0,11417 0,090553 0,136838
7
2,54650 1,273250
1,148109
0,147762 0,125141 0,098285 0,138116
8
2,56578 1,282892
1,149196
0,147583 0,133697 0,104215 0,139062
9
2,58117 1,290587
1,150034
0,147421 0,140554 0,108907 0,139791
10
2,59374 1,296871
1,150699
0,147277 0,146172 0,112711
0,14037
11
2,60420 1,302100
1,151241
0,147150 0,150858 0,115858 0,140841
12
2,61304 1,306518
1,151691
0,147037 0,154827 0,118503 0,141231
13
2,62060 1,310300
1,152070
0,146937 0,158231 0,120759
0,14156
14
2,62715 1,313576
1,152393
0,146849 0,161182 0,122705 0,141841
15
2,63288 1,316439
1,152673
0,146769 0,163766 0,124401 0,142084
16
2,63793 1,318964
1,152918
0,146698 0,166047 0,125892 0,142296
17
2,64241 1,321207
1,153133
0,146633 0,168075 0,127213 0,142482
18
2,64643 1,323213
1,153323
0,146574 0,169889 0,128392 0,142648
19
2,65003 1,325017
1,153494
0,146521 0,171523
0,12945 0,142796
20
2,65330 1,326649
1,153647
0,146472 0,173002 0,130405 0,142928
21
2,65626 1,328132
1,153786
0,146428 0,174346 0,131272 0,143048
22
2,65897 1,329485
1,153911
0,146387 0,175574 0,132061 0,143157
23
2,66145 1,330725
1,154026
0,146349 0,176699 0,132784 0,143257
24
2,66373 1,331866
1,154131
0,146314 0,177735 0,133448 0,143347
25
2,66584 1,332918
1,154227
0,146281 0,178691
0,13406 0,143431
26
2,66778 1,333892
1,154316
0,146251 0,179576 0,134626 0,143508
27
2,66959 1,334797
1,154399
0,146222 0,180398
0,13515 0,143579
28
2,67128 1,335639
1,154475
0,146196 0,181164 0,135638 0,143646
29
2,67285 1,336425
1,154546
0,146171 0,181879 0,136093 0,143707
30
2,67432 1,337159
1,154612
0,146148 0,182547 0,136519 0,143765
31
2,67570 1,337848
1,154674
0,146126 0,183174 0,136917 0,143818
32
2,67699 1,338495
1,154732
0,146105 0,183763 0,137291 0,143869
27
33
2,67821 1,339104
1,154787
0,146086 0,184317 0,137642 0,143916
34
2,67936 1,339678
1,154838
0,146067 0,184839 0,137973
0,14396
35
2,68044 1,340220
1,154887
0,146050 0,185333 0,138286 0,144002
36
2,68146 1,340732
1,154932
0,146033
0,1858 0,138581 0,144042
37
2,68244 1,341218
1,154975
0,146017 0,186242 0,138861 0,144079
38
2,68336 1,341678
1,155016
0,146002 0,186662 0,139126 0,144114
39
2,68423 1,342116
1,155055
0,145988 0,187061 0,139378 0,144148
40
2,68506 1,342532
1,155092
0,145975
0,18744 0,139617
0,14418
41
2,68586 1,342928
1,155127
0,145962 0,187801 0,139845
0,14421
42
2,68661 1,343306
1,155160
0,145949 0,188146 0,140062 0,144239
43
2,68733 1,343667
1,155192
0,145938 0,188475 0,140269 0,144266
44
2,68802 1,344011
1,155222
0,145926 0,188789 0,140467 0,144293
45
2,68868 1,344341
1,155251
0,145915 0,189089 0,140656 0,144318
46
2,68931 1,344656
1,155279
0,145905 0,189377 0,140837 0,144342
47
2,68992 1,344958
1,155305
0,145895 0,189653
0,14101 0,144365
48
2,69050 1,345248
1,155331
0,145885 0,189918 0,141177 0,144387
49
2,69105 1,345527
1,155355
0,145876 0,190172 0,141336 0,144408
50
2,69159 1,345794
1,155378
0,145867 0,190416 0,141489 0,144428
51
2,69210 1,346051
1,155401
0,145859
0,19065 0,141637 0,144447
52
2,69260 1,346298
1,155422
0,145851 0,190876 0,141778 0,144466
53
2,69307 1,346537
1,155443
0,145843 0,191093 0,141915 0,144484
54
2,69353 1,346766
1,155463
0,145835 0,191303 0,142046 0,144501
55
2,69398 1,346988
1,155482
0,145828 0,191505 0,142173 0,144518
56
2,69440 1,347201
1,155501
0,145821
0,1917 0,142295 0,144534
57
2,69481 1,347407
1,155519
0,145814 0,191888 0,142413
0,14455
58
2,69521 1,347606
1,155536
0,145807
0,19207 0,142527 0,144565
59
2,69560 1,347799
1,155553
0,145801 0,192246 0,142637 0,144579
60
2,69597 1,347985
1,155569
0,145795 0,192416 0,142743 0,144593
61
2,69633 1,348165
1,155585
0,145789
0,19258 0,142846 0,144606
62
2,69668 1,348340
1,155600
0,145783
0,19274 0,142946
0,14462
63
2,69702 1,348509
1,155614
0,145777 0,192894 0,143043 0,144632
64
2,69734 1,348672
1,155629
0,145772 0,193044 0,143136 0,144644
65
2,69766 1,348831
1,155642
0,145766 0,193189 0,143227 0,144656
66
2,69797 1,348985
1,155656
0,145761
0,19333 0,143315 0,144668
67
2,69827 1,349135
1,155669
0,145756 0,193466
0,1434 0,144679
68
2,69856 1,349280
1,155681
0,145751 0,193599 0,143483
0,14469
69
2,69884 1,349421
1,155693
0,145746 0,193728 0,143564
0,1447
70
2,69912 1,349558
1,155705
0,145742 0,193853 0,143642 0,144711
71
2,69938 1,349691
1,155717
0,145737 0,193975 0,143718 0,144721
72
2,69964 1,349821
1,155728
0,145733 0,194093 0,143792
0,14473
73
2,69989 1,349947
1,155739
0,145729 0,194208 0,143864
0,14474
74
2,70014 1,350070
1,155749
0,145725 0,194321 0,143934 0,144749
75
2,70038 1,350189
1,155759
0,145721
0,19443 0,144002 0,144758
76
2,70061 1,350306
1,155770
0,145717 0,194536 0,144068 0,144766
77
2,70084 1,350419
1,155779
0,145713
0,19464 0,144133 0,144775
78
2,70106 1,350530
1,155789
0,145709 0,194741 0,144196 0,144783
28
79
2,70127 1,350637
1,155798
0,145706 0,194839 0,144257 0,144791
80
2,70148 1,350742
1,155807
0,145703 0,194935 0,144317 0,144799
81
2,71828 1,359141
На основании данных таблицы № 7 получим график № 6.
График № 6. Значения logE S2n-1 / N2n-1, logE S2n-1 / N2n-1, ln S2n-1 / N2n-1,
(E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2)
0,16
0,14
0,12
0,1
Ряд1
0,08
Ряд2
0,06
Ряд3
0,04
0,02
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79
Ряд 1 – значения logE S2n-1 / N2n-1,
Ряд 2 – значения ln S2n-1 / N2n-1,
Ряд 3 – значения (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2)
Все три ряда сходятся.
Наше предположение о том, что отношение S2n-1 / N2n-1 стремится к какому-то пределу,
нашло своё подтверждение.
Найдём этот предел.
29
Решение напрашивается само собой.
Lim (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2) = ln S2n-1 / N2n-1
При N → ∞ , n →∞ E = ℮
Lim (℮ / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (℮ / 2) = ln S2n-1 / N2n-1
(℮ / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (℮ / 2) = ln S2n-1 / N2n-1
℮ = 2 * S2n-1 / N2n-1 / (1 - ln S2n-1 / N2n-1)
Решая данное уравнение, получаем:
ln S2n-1 / N2n-1 = 0,147394497986270
Но S159/ N159 = 0,14570195014520 < 0,147394497986270
Значит, решение не верно.
VI.
Продолжим наши поиски правильного решения.
Для упрощения расчётов перейдём на следующие обозначения:
A = S2n-1 / N2n-1
B = (E/2) / (S2n-1 / N2n-1)
A * B = E / 2
A = √ (E / 2) * √(A / B)
B = √ (E / 2) / √(A / B)
Таблица№ 8.
№№
N
E
logE E / 2
½ logE E / 2
logE A
logE B
Δ
1
1
2
0
0
0
0
0
2
2 2,250000
0,145244
0,072622
0,145244 0,000000
-0,072622
3
3 2,370370
0,196860
0,098430
0,147546 0,049313
-0,049117
4
4 2,441406
0,223429
0,111715
0,148131 0,075298
-0,036417
5
5 2,488320
0,239643
0,119822
0,148110 0,091533
-0,028289
6
6 2,521626
0,250574
0,125287
0,147949 0,102625
-0,022662
7
7 2,546500
0,258444
0,129222
0,147762 0,110682
-0,018540
8
8 2,565785
0,264381
0,132191
0,147583 0,116798
-0,015392
9
9 2,581175
0,269021
0,134510
0,147421 0,121600
-0,012911
30
10
10 2,593742
0,272746
0,136373
0,147277 0,125469
-0,010904
11
11 2,604199
0,275803
0,137901
0,147150 0,128653
-0,009248
12
12 2,613035
0,278357
0,139178
0,147037 0,131320
-0,007859
13
13 2,620601
0,280523
0,140261
0,146937 0,133585
-0,006676
14
14 2,627152
0,282382
0,141191
0,146849 0,135534
-0,005657
15
15 2,632879
0,283996
0,141998
0,146769 0,137227
-0,004771
16
16 2,637928
0,285411
0,142705
0,146698 0,138713
-0,003992
17
17 2,642414
0,286660
0,143330
0,146633 0,140027
-0,003303
18
18 2,646426
0,287772
0,143886
0,146574 0,141198
-0,002688
19
19 2,650034
0,288768
0,144384
0,146521 0,142247
-0,002137
20
20 2,653298
0,289665
0,144833
0,146472 0,143193
-0,001640
21
21 2,656263
0,290477
0,145239
0,146428 0,144049
-0,001189
22
22 2,658970
0,291216
0,145608
0,146387 0,144830
-0,000779
23
23 2,661450
0,291891
0,145946
0,146349 0,145543
-0,000403
24
24 2,663731
0,292510
0,146255
0,146314 0,146197
-0,000058
25
25 2,665836
0,293080
0,146540
0,146281 0,146800
0,000259
26
26 2,667785
0,293607
0,146803
0,146251 0,147356
0,000553
27
27 2,669594
0,294095
0,147047
0,146222 0,147872
0,000825
28
28 2,671278
0,294548
0,147274
0,146196 0,148352
0,001078
29
29 2,672849
0,294970
0,147485
0,146171 0,148799
0,001314
30
30 2,674319
0,295363
0,147682
0,146148 0,149216
0,001534
31
31 2,675696
0,295732
0,147866
0,146126 0,149606
0,001740
32
32 2,676990
0,296078
0,148039
0,146105 0,149973
0,001934
33
33 2,678208
0,296403
0,148201
0,146086 0,150317
0,002116
34
34 2,679355
0,296709
0,148354
0,146067 0,150642
0,002287
35
35 2,680439
0,296997
0,148499
0,146050 0,150948
0,002449
36
36 2,681464
0,297270
0,148635
0,146033 0,151237
0,002602
37
37 2,682435
0,297528
0,148764
0,146017 0,151510
0,002746
38
38 2,683357
0,297772
0,148886
0,146002 0,151770
0,002884
39
39 2,684232
0,298004
0,149002
0,145988 0,152016
0,003014
40
40 2,685064
0,298224
0,149112
0,145975 0,152250
0,003137
41
41 2,685856
0,298434
0,149217
0,145962 0,152472
0,003255
42
42 2,686612
0,298633
0,149317
0,145949 0,152684
0,003367
43
43 2,687333
0,298824
0,149412
0,145938 0,152886
0,003474
44
44 2,688022
0,299006
0,149503
0,145926 0,153079
0,003577
45
45 2,688681
0,299179
0,149590
0,145915 0,153264
0,003674
46
46 2,689312
0,299346
0,149673
0,145905 0,153441
0,003768
47
47 2,689917
0,299505
0,149752
0,145895 0,153610
0,003857
48
48 2,690497
0,299657
0,149829
0,145885 0,153772
0,003943
49
49 2,691053
0,299804
0,149902
0,145876 0,153927
0,004026
50
50 2,691588
0,299944
0,149972
0,145867 0,154077
0,004105
51
51 2,692102
0,300079
0,150040
0,145859 0,154220
0,004181
52
52 2,692597
0,300209
0,150105
0,145851 0,154358
0,004254
53
53 2,693073
0,300334
0,150167
0,145843 0,154491
0,004324
54
54 2,693532
0,300454
0,150227
0,145835 0,154619
0,004392
55
55 2,693975
0,300570
0,150285
0,145828 0,154743
0,004457
31
56
56 2,694402
0,300682
0,150341
0,145821 0,154862
0,004520
57
57 2,694814
0,300790
0,150395
0,145814 0,154976
0,004581
58
58 2,695213
0,300894
0,150447
0,145807 0,155087
0,004640
59
59 2,695598
0,300995
0,150498
0,145801 0,155194
0,004697
60
60 2,695970
0,301093
0,150546
0,145795 0,155298
0,004752
61
61 2,696330
0,301187
0,150593
0,145789 0,155398
0,004805
62
62 2,696679
0,301278
0,150639
0,145783 0,155495
0,004856
63
63 2,697017
0,301366
0,150683
0,145777 0,155589
0,004906
64
64 2,697345
0,301452
0,150726
0,145772 0,155680
0,004954
65
65 2,697663
0,301534
0,150767
0,145766 0,155768
0,005001
66
66 2,697971
0,301615
0,150807
0,145761 0,155854
0,005046
67
67 2,698270
0,301693
0,150846
0,145756 0,155937
0,005090
68
68 2,698560
0,301769
0,150884
0,145751 0,156017
0,005133
69
69 2,698842
0,301842
0,150921
0,145746 0,156096
0,005175
70
70 2,699116
0,301913
0,150957
0,145742 0,156172
0,005215
71
71 2,699383
0,301983
0,150991
0,145737 0,156245
0,005254
72
72 2,699642
0,302050
0,151025
0,145733 0,156317
0,005292
73
73 2,699894
0,302116
0,151058
0,145729 0,156387
0,005329
74
74 2,700140
0,302180
0,151090
0,145725 0,156455
0,005365
75
75 2,700379
0,302242
0,151121
0,145721 0,156521
0,005400
76
76 2,700611
0,302303
0,151151
0,145717 0,156586
0,005435
77
77 2,700838
0,302362
0,151181
0,145713 0,156649
0,005468
78
78 2,701059
0,302419
0,151210
0,145709 0,156710
0,005500
79
79 2,701275
0,302475
0,151238
0,145706 0,156770
0,005532
80
80 2,701485
0,302530
0,151265
0,145703 0,156827
0,005562
N
N
2,718282
0,306853
0,153426
0,145244 0,161608
0,008182
ln (E / 2) = 0,306852819440055000
½ * ln (E / 2) = 0,153426409720027000
Будем считать, что ln A = 0,145244354324273000, ln B = 0,161608465115782000
Δ = ½ * ln (E / 2) - ln A = 0,008182055395754810
Δ = ½ * ln (E / 2) - ln B = 0,008182055395754810
ln B – ln A = 0,016364110791509600 = 2 * 0,008182055395754810
Решение.
ln B – ln A = 2* [½ * ln (E / 2) - ln A] = ln (E / 2) – 2 * ln A
ln B – ln A + 2 * ln A = ln (E / 2)
ln B + ln A = ln (E / 2) = ln A + ln B – совершенное тождество.
32
Таким образом, если разность ln B – ln A равна ln (E / 2) – 2 * ln A получается
совершенное тождество.
При значениях lnA = 0,145244354324273000 и ln B = 0,161608465115782000 это
условие выполняется.
A = ℮0,1452443543242730 = exp (0,1452443543242730) = 1,156322088051860
B = ℮0,1616084651157820 = exp (0,1616084651157820) = 1,175399941135230
Решение найдено.
График № 7.
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
Ряд1
0,08
Ряд2
0,06
Ряд3
0,04
0,02
0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд 1 – значения ½* logE (E / 2)
Ряд 2 – значения logE A
Ряд 3 – значения logE B
При n, N → ∞,
½* logE (E / 2) = ½* ln (℮ / 2)
logE A = ln A
logE B = ln B
33
График № 8.
0,08
0,06
0,04
0,02
Ряд1
0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд2
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
Ряд 1 – значения ½* logE (E / 2) - logE B
Ряд 2 – значения ½* logE (E / 2) - logE A
При n, N → ∞,
½* logE (E / 2) = ½* ln (℮ / 2)
logE A = ln A
logE B = ln B
34
График № 9. Значения S
/ N²ⁿ⁻¹,
2 / 2 * (log 3 - log 2)
E
E
2n-1
℮ 1 - ln 2 / 2 * (ln 3 - ln 2) и E 1 - logE
.
1,2
1,15
1,1
Ряд1
1,05
Ряд2
Ряд3
1
0,95
0,9
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79
Ряд 1 – значения ℮ 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2))
Ряд 2 – значения E 1 - log 2 / (2 * (log 3 - log 2))
E
E
E
Ряд 3 – значения S
/ N²ⁿ⁻¹
2n-1
1 - logE 2 / 2 * (logE 3 - logE 2) = 0,1452443543242730
(2 * logE 3 – 3 *logE 2) / (2 * logE 3 – 2 * logE 2) = 0,1452443543242730
(logE 32 –logE 23) / (logE 32 – logE 22) = 0,1452443543242730
logE (32 / 23) / logE (32 / 22) = 0,1452443543242730
log2,25 1,125 = 0,1452443543242730
1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730
ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,8547556456757270
ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 = 0,1616084651157820
ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 – (1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) =
= ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 –1 + ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) =
= 2 * ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 –1 = ln 2 / (ln 3 - ln 2) - ln 2 – 1 =
35
= 1,709511291351450 - 0,6931471805599450 – 1 = 0,01636411079150910
Exp (0,1452443543242730) = 1,156322088051860
Exp (0,1616084651157820) = 1,175399941135230
lim (S2n-1 / N²ⁿ⁻¹) = ℮ ^ (1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = ℮ 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2)) = 1,156322088051860
lim (℮ / 2) / (S2n-1 / N²ⁿ⁻¹) = ½ * ℮^ln2/(2*(ln3-ln2)) = ½*℮ln2/(2*(ln3-ln2) = 1,175399941135230
Эти формулы действуют в бесконечности при n, N → ∞, ℮ = E, ln N = logE N.
Докажем, что
℮ 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2)) = E 1 - log 2 / (2 * (log 3 - log 2))
E
E
E
при любом N.
1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 1 - logE 2 / 2 * (logE 3 - logE 2)
1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730
ln 2 / (ln 3 - ln 2) = logE 2 / (logE 3 - logE 2)
(ln 3 - ln 2) / ln 2 = (logE 3 - logE 2) / logE 2
ln 3 / ln 2 - 1 = logE 3 / logE 2 – 1
ln 3 / ln 2 = logE 3 / logE 2
log2 3 = log2 3
1,584962500721160 = 1,584962500721160
Что и требовалось доказать.
36
Таблица № 9.
2) E
log -3
E
ⁿ
¹)
⁻
* (log
/ N²ⁿ
№№
1
N
E / 2
(E / 2)
-
/ 2
E
2n
2)
= (1 + 1/N)
(S
E
E
log
E
log
3* log-3 E
(2* log
1
1
2
1
0
0
0,1452444
2
2
2,2500000
1,1250000
0,1452444
0,1452444
0,1452444
3
3
2,3703704
1,1851852
0,1968597
0,1475465
0,1452444
4
4
2,4414063
1,2207031
0,2234291
0,1481314
0,1452444
5
5
2,4883200
1,2441600
0,2396432
0,1481104
0,1452444
6
6
2,5216264
1,2608132
0,2505740
0,1479488
0,1452444
7
7
2,5464997
1,2732498
0,2584438
0,1477619
0,1452444
8
8
2,5657845
1,2828923
0,2643814
0,1475830
0,1452444
9
9
2,5811748
1,2905874
0,2690207
0,1474210
0,1452444
10
10
2,5937425
1,2968712
0,2727459
0,1472770
0,1452444
11
11
2,6041990
1,3020995
0,2758030
0,1471498
0,1452444
12
12
2,6130353
1,3065176
0,2783569
0,1470373
0,1452444
13
13
2,6206009
1,3103004
0,2805226
0,1469375
0,1452444
14
14
2,6271516
1,3135758
0,2823822
0,1468486
0,1452444
15
15
2,6328787
1,3164394
0,2839964
0,1467690
0,1452444
16
16
2,6379285
1,3189642
0,2854108
0,1466975
0,1452444
17
17
2,6424144
1,3212072
0,2866603
0,1466330
0,1452444
18
18
2,6464258
1,3232129
0,2877722
0,1465745
0,1452444
19
19
2,6500343
1,3250172
0,2887680
0,1465212
0,1452444
20
20
2,6532977
1,3266489
0,2896650
0,1464725
0,1452444
21
21
2,6562632
1,3281316
0,2904773
0,1464278
0,1452444
22
22
2,6589699
1,3294849
0,2912162
0,1463867
0,1452444
23
23
2,6614501
1,3307251
0,2918913
0,1463487
0,1452444
24
24
2,6637313
1,3318656
0,2925105
0,1463136
0,1452444
25
25
2,6658363
1,3329182
0,2930805
0,1462809
0,1452444
26
26
2,6677850
1,3338925
0,2936069
0,1462506
0,1452444
27
27
2,6695940
1,3347970
0,2940946
0,1462223
0,1452444
28
28
2,6712779
1,3356389
0,2945476
0,1461958
0,1452444
29
29
2,6728491
1,3364246
0,2949695
0,1461709
0,1452444
37
30
30
2,6743188
1,3371594
0,2953635
0,1461476
0,1452444
31
31
2,6756963
1,3378482
0,2957322
0,1461257
0,1452444
32
32
2,6769901
1,3384951
0,2960779
0,1461050
0,1452444
33
33
2,6782077
1,3391038
0,2964028
0,1460855
0,1452444
34
34
2,6793554
1,3396777
0,2967087
0,1460671
0,1452444
35
35
2,6804393
1,3402196
0,2969972
0,1460496
0,1452444
36
36
2,6814644
1,3407322
0,2972697
0,1460331
0,1452444
37
37
2,6824355
1,3412177
0,2975276
0,1460174
0,1452444
38
38
2,6833566
1,3416783
0,2977719
0,1460024
0,1452444
39
39
2,6842316
1,3421158
0,2980038
0,1459882
0,1452444
40
40
2,6850638
1,3425319
0,2982241
0,1459746
0,1452444
41
41
2,6858563
1,3429282
0,2984338
0,1459617
0,1452444
42
42
2,6866119
1,3433060
0,2986334
0,1459493
0,1452444
43
43
2,6873331
1,3436665
0,2988239
0,1459375
0,1452444
44
44
2,6880221
1,3440111
0,2990056
0,1459262
0,1452444
45
45
2,6886812
1,3443406
0,2991794
0,1459154
0,1452444
46
46
2,6893121
1,3446561
0,2993456
0,1459050
0,1452444
47
47
2,6899167
1,3449584
0,2995048
0,1458951
0,1452444
48
48
2,6904966
1,3452483
0,2996573
0,1458855
0,1452444
49
49
2,6910532
1,3455266
0,2998037
0,1458763
0,1452444
50
50
2,6915880
1,3457940
0,2999442
0,1458675
0,1452444
51
51
2,6921022
1,3460511
0,3000793
0,1458589
0,1452444
52
52
2,6925970
1,3462985
0,3002091
0,1458507
0,1452444
53
53
2,6930733
1,3465367
0,3003341
0,1458428
0,1452444
54
54
2,6935324
1,3467662
0,3004544
0,1458352
0,1452444
55
55
2,6939750
1,3469875
0,3005704
0,1458279
0,1452444
56
56
2,6944021
1,3472010
0,3006823
0,1458208
0,1452444
57
57
2,6948144
1,3474072
0,3007902
0,1458139
0,1452444
58
58
2,6952127
1,3476064
0,3008944
0,1458072
0,1452444
59
59
2,6955978
1,3477989
0,3009951
0,1458008
0,1452444
60
60
2,6959701
1,3479851
0,3010925
0,1457946
0,1452444
61
61
2,6963305
1,3481652
0,3011867
0,1457886
0,1452444
62
62
2,6966794
1,3483397
0,3012778
0,1457827
0,1452444
63
63
2,6970174
1,3485087
0,3013661
0,1457771
0,1452444
64
64
2,6973450
1,3486725
0,3014516
0,1457716
0,1452444
65
65
2,6976626
1,3488313
0,3015345
0,1457663
0,1452444
66
66
2,6979707
1,3489854
0,3016149
0,1457611
0,1452444
67
67
2,6982698
1,3491349
0,3016929
0,1457561
0,1452444
68
68
2,6985602
1,3492801
0,3017685
0,1457512
0,1452444
69
69
2,6988422
1,3494211
0,3018421
0,1457465
0,1452444
70
70
2,6991164
1,3495582
0,3019135
0,1457419
0,1452444
71
71
2,6993829
1,3496914
0,3019829
0,1457374
0,1452444
72
72
2,6996421
1,3498210
0,3020504
0,1457330
0,1452444
73
73
2,6998942
1,3499471
0,3021160
0,1457288
0,1452444
74
74
2,7001397
1,3500698
0,3021799
0,1457246
0,1452444
75
75
2,7003787
1,3501893
0,3022420
0,1457206
0,1452444
38
76
76
2,7006114
1,3503057
0,3023026
0,1457167
0,1452444
77
77
2,7008382
1,3504191
0,3023615
0,1457129
0,1452444
78
78
2,7010592
1,3505296
0,3024190
0,1457091
0,1452444
79
79
2,7012748
1,3506374
0,3024750
0,1457055
0,1452444
80
80
2,7014849
1,3507425
0,3025296
0,1457025
0,1452444
N
N
2,7182818
1,3591409
0,3068528
0,1452444
0,1452444
График № 10.
0,35
0,3
0,25
0,2
Ряд1
Ряд2
0,15
Ряд3
0,1
0,05
0
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81
Ряд 1 – значения logE (E / 2)
Ряд 2 – значения log2,25 1,125 = (2* logE 3 -3* logE 2) / 2 * (logE 3 - logE 2) =
=( 2* ln 3 – 3* ln 2) / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730
Ряд 3 – значения log
/ N²ⁿ
E (S2n-1
⁻¹)
VII.
Таким образом, благодаря второму замечательному пределу:
℮ =
, при n, N →∞ найдены пределы отношений:
lim (S2n-1 / N²ⁿ⁻¹) = 1,156322088051860
lim (E / 2) / (S2n-1 / N²ⁿ⁻¹) = 1,175399941135230
α = 0,8507742471334290
α = 1 / 1,175399941135230
lim (S2n-1 / (S₁)ⁿ = α* 2ⁿ / 2n
lim (S2n-1 / (S₁)ⁿ = 0,8507742471334290 * 2ⁿ / 2n,
39
А что такое 1,175399941135230?
Ни что иное, как ½ * √ 2 ^ (1 / (ln 3 – ln 2) = ½* ln 3/2 √ √ 2
α = 2 / (√ 2 ^ (1 / (ln 3 – ln 2) = 2 / ln 3/2 √ √ 2
В результате получаются очень интересные формулы и закономерности, связывающие
между собой так называемые иррациональные и трансцендентные числа: √ 2, ln 3, ln 2.
Поиску этих закономерностей будут посвящены следующие работы.
Здесь же мы ограничиваемся всего лишь ответом на вопрос: есть ли актуальная
бесконечность или нет.
Таким образом, сумма бесконечного ряда, составленного из членов натурального ряда,
не превышает:
1 ≤ S2n-1 ≤ 1,156322088051860 N2n-1.
Следовательно, чем больше число N, тем больше сумма ряда, составленного из
конечного числа членов натурального ряда.
Налицо потенциальная бесконечность.
Актуальной бесконечности не существует.
Не существует и трансфинитных чисел.
Первое и последнее трансфинитное число – сумма бесконечного натурального
ряда – S1.
В бесконечности S2n-1 = 0,8507742471334290 * 2ⁿ / 2n * (S1)n
Таким образом, бесконечность нельзя сосчитать.
Но любую бесконечность можно сравнить с бесконечным натуральным рядом. Сравнить
не с помощью каких-то вымышленных трансфинитных чисел, а с помощью арифметики.
Законы арифметики распространяются и на бесконечность.
Георг Кантор оказался не прав.
Бесконечность – бесконечна.
Таким образом, двадцать четвёртая проблема Гильберта – решена.
40