Двойственная природа чисел.

Обнаружение гравитационных волн ещѐ раз подтвердило гипотезу Луи де

Бройля об универсальной двойственности корпускулярных и волновых

свойств всех объектов природы.

Не обладают ли числа такой же двойственностью?

Для доказательства теории воспользуемся спиралью Феодора Киренского и

прямоугольной (декартовой) системой координат.

Рисунок № 1. Спираль Феодора Киренского.

Гипотенузы прямоугольных треугольников, из которых состоит спираль,

равны квадратному корню из натуральных чисел от единицы до

бесконечности, один из катетов всегда равен единице, второй катет

последующего треугольника всегда является гипотенузой предыдущего

треугольника.

Спираль Феодора Киренского наглядно показывает существование

иррациональных чисел, квадратами которых являются натуральные

числа и трансцендентных чисел- углов в треугольника, которые можно

построить, но невозможно точно вычислить.

Спираль Феодора Киренского даѐт возможность создать новую арифметику

– новую теорию чисел, тригонометрическую теорию чисел или волновую

арифметику.

Но вернѐмся к нашему доказательству.

1

B

√(N + 1)

1

0 A

√N

Рисунок № 2. Треугольник.

Рассмотрим какой-либо прямоугольный треугольник (рисунок № 2) из

спирали Феодора Киренского.

Будем считать, что катет AB равен 1.

Катет 0A равен √N, где N – числа натурального ряда.

На основании теоремы Пифагора гипотенуза 0B равна √(N + 1).

Угол, лежащий напротив катета AB, назовѐм ν (ню).

Тогда тангенс угла ν равняется: tg ν = 1 / √N.

Синус угла ν равняется: sin ν = 1 / √(N + 1).

Косинус угла ν равняется: cos ν = √N / √(N + 1).

Если Ni – любое натуральное число, то на основании любого треугольника

спирали Феодора Киренского получаются простые формулы –

тригонометрические формулы числа:

𝒕𝒂𝒏 𝝂𝒊 = 𝟏 (1)

𝑵𝒊

𝒄𝒕𝒈 𝝂𝒊 = 𝑵𝒊 (2)

𝒔𝒊𝒏 𝝂𝒊 = 𝟏 (3)

𝑵𝒊+𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝝂𝒊 = 𝑵𝒊 (4)

𝑵𝒊+𝟏

Формулы двойных углов:

2

𝒔𝒊𝒏 𝟐𝝂𝒊 = 𝟐 𝑵𝒊 (5)

𝑵𝒊+𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝂𝒊 = 𝑵𝒊−𝟏

(6)

𝑵𝒊+𝟏

𝒕𝒂𝒏 𝟐𝝂𝒊 = 𝟐 𝑵𝒊

(7)

𝑵𝒊−𝟏

Формулы половинных углов:

𝒕𝒂𝒏 𝝂𝒊 = 𝑵

𝟐

𝒊 + 𝟏 − 𝑵𝒊

(8)

𝒕𝒂𝒏 𝝂𝒊 = ( 𝑵𝒊+𝟏− 𝑵𝒊)

(9)

𝟐

( 𝑵𝒊+𝟏+ 𝑵𝒊)

𝒄𝒕𝒈 𝝂𝒊 = 𝑵

𝟐

𝒊 + 𝟏 + 𝑵𝒊

(10)

𝒄𝒕𝒈 𝝂𝒊 = ( 𝑵𝒊+𝟏+ 𝑵𝒊)

(11)

𝟐

( 𝑵𝒊+𝟏− 𝑵𝒊)

𝑵𝒊+𝟏− 𝑵𝒊

𝒔𝒊𝒏 𝝂𝒊 =

(12)

𝟐

𝟐

𝑵𝒊+𝟏+ 𝑵𝒊

𝒄𝒐𝒔 𝝂𝒊 =

(13)

𝟐

𝟐

Угол ν (ню).

𝝂𝒊 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏

(14)

𝑵𝒊

𝝂𝒊 = 𝑨𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟏

(15)

𝑵𝒊+𝟏

𝝂𝒊 = 𝑨𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝑵𝒊

(16)

𝑵𝒊+𝟏

𝝂𝒊 = 𝟏 ∗ 𝑨𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝑵𝒊−𝟏

(17)

𝟐

𝑵𝒊+𝟏

𝑵

𝟐

𝒊 = 𝒄𝒕𝒈 𝝂𝒊

(18)

3

𝝂𝒊 = 𝑨𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈 𝑵𝒊

(19)

Таким образом, каждое натуральное число является квадратом котангенса

угла ν, который в свою очередь равен арккотангенсу из квадратного корня

данного числа.

Соответственно, любое число U есть квадрат котангенса угла u, а угол u

равен: u = Arc tg ( 1 / √ U )

Таблица № 1. Чиcла N, тангенсы угла ν, угол ν°.

№№

N

√ N

1 / √ N

ν = arctg (1 / √ N)

ν°

1

1

1

1

0,785398163

45

2

2

1,414213562

0,707106781

0,615479709

35,26438968

3

3

1,732050808

0,577350269

0,523598776

30

4

4

2

0,5

0,463647609

26,56505118

5

5

2,236067977

0,447213595

0,420534335

24,09484255

6

6

2,449489743

0,40824829

0,387596687

22,2076543

7

7

2,645751311

0,377964473

0,361367124

20,70481105

8

8

2,828427125

0,353553391

0,339836909

19,47122063

9

9

3

0,333333333

0,321750554

18,43494882

10

10

3,16227766

0,316227766

0,306277369

17,54840061

11

11

3,31662479

0,301511345

0,292842772

16,77865488

12

12

3,464101615

0,288675135

0,281034902

16,10211375

13

13

3,605551275

0,277350098

0,270549763

15,50135957

14

14

3,741657387

0,267261242

0,261157411

14,96321743

15

15

3,872983346

0,25819889

0,252680255

14,47751219

16

16

4

0,25

0,244978663

14,03624347

17

17

4,123105626

0,242535625

0,237941125

13,63302223

18

18

4,242640687

0,23570226

0,231477364

13,26267601

19

19

4,358898944

0,229415734

0,225513406

12,92096638

20

20

4,472135955

0,223606798

0,219987977

12,60438265

21

21

4,582575695

0,21821789

0,214849833

12,30998866

22

22

4,69041576

0,213200716

0,210055739

12,03530731

23

23

4,795831523

0,208514414

0,205568931

11,77823215

24

24

4,898979486

0,204124145

0,201357921

11,53695903

25

25

5

0,2

0,19739556

11,30993247

26

26

5,099019514

0,196116135

0,1936583

11,09580328

27

27

5,196152423

0,19245009

0,190125603

10,89339465

28

28

5,291502622

0,188982237

0,186779461

10,70167482

29

29

5,385164807

0,185695338

0,18360401

10,51973489

30

30

5,477225575

0,182574186

0,180585214

10,34677062

31

31

5,567764363

0,179605302

0,177710601

10,1820674

32

32

5,656854249

0,176776695

0,174969046

10,02498786

4

33

33

5,744562647

0,174077656

0,17235059

9,874961398

34

34

5,830951895

0,171498585

0,169846288

9,731475473

35

35

5,916079783

0,169030851

0,167448079

9,594068227

36

36

6

0,166666667

0,165148677

9,462322208

37

37

6,08276253

0,164398987

0,162941479

9,335859032

38

38

6,164414003

0,162221421

0,160820481

9,214334802

39

39

6,244997998

0,160128154

0,158780215

9,097436169

40

40

6,32455532

0,158113883

0,156815685

8,984876932

Выводы:

Каждому числу N соответствует значение тригонометрической функции

угла ν:

ctg2 νi = Ni,

или: 1 / tg2 νi = Ni

При N → ∞, угол ν → 0.

При N = 1, угол ν = π/4, или 45°.

При N → 0, угол ν → π/2, или 90°.

Вся числовая ось от нуля до бесконечности заключена между 90° и 0°.

Каждому значению числа N соответствует определѐнная функция угла ν.

Каждому значению угла ν соответствует определѐнная функция числа N.

В этом как раз и заключена двойственная природа чисел.

Угол ω (омега).

Рассмотрим рисунок № 3, где изображены первые три треугольника из

спирали Феодора Киренского в координатных осях 0X и 0Y.

5

Y

D

Y

3

C

Y

2

Y1

B

A

X

X1

3

0

X2

X

Рисунок № 3.

Ось абцисс – ось 0X.

Ось ординат– ось 0Y.

Угол B0A – ν1,

𝝅

𝝂𝟏 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟏 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟏) = = 45°.

𝑵𝟏

𝟏

𝟒

Угол B0A – ω1;

ω1 = ν1;

Угол C0B - ν2.

Угол C0A – ω2.

ω2 = ν1 + ν2.

6

Угол D0C – ν3.

Угол D0A – ω3.

ω3 = ν1 + ν2 + ν3.

Угол ω равен сумме углов ν:

ωi = ∑ νi.

𝝎

𝒊

𝒊 = 𝝂

𝟏 𝒊

(20)

По аналогии с числами N получаем числа Ω:

𝜴 = 𝟏 = 𝒄𝒐𝒕 𝝎 = 𝒄𝒕𝒈 𝝎 ;

(21)

𝒕𝒂𝒏 𝝎

𝒕𝒂𝒏 𝝎𝒊 = 𝟏 ;

(22)

𝜴𝒊

𝒄𝒕𝒈 𝝎𝒊 = 𝜴𝒊;

(23)

𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒊 = 𝟏 ;

(24)

𝜴𝒊+𝟏

𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒊 = 𝜴𝒊 .

(25)

𝜴𝒊+𝟏

Таблица № 2. Чиcла N, угол ν, ω, числа Ω.

N = ctg² ν

ν

ω = Σ ν

tg ω

ctg ω = √ Ω

Ω = ctg² ω

1

0,785398163 0,785398163

1

1

1

2

0,615479709 1,400877872

5,828427125

0,171572875

0,029437252

3

0,523598776 1,924476648

-2,708523595

-0,369204832

0,136312208

4

0,463647609 2,388124257

-0,938096008

-1,065988972

1,136332489

5

0,420534335 2,808658592

-0,34580647

-2,891790888

8,362454542

6

0,387596687 3,196255279

0,054717134

18,27581095

334,0052658

7

0,361367124 3,557622403

0,441818923

2,263370689

5,122846874

8

0,339836909 3,897459312

0,942614973

1,060878544

1,125463284

9

0,321750554 4,219209866

1,860538922

0,537478678

0,288883329

10

0,306277369 4,525487236

5,287958686

0,18910889

0,035762172

11

0,292842772 4,818330007

-9,403873646

-0,106339157

0,011308016

12

0,281034902 5,099364909

-2,453841669

-0,407524256

0,166076019

13

0,270549763 5,369914672

-1,295088804

-0,772147823

0,59621226

14

0,261157411 5,631072083

-0,763544249

-1,309681791

1,715266394

15

0,252680255 5,883752338

-0,422124989

-2,368966599

5,612002747

16

0,244978663 6,128731001

-0,155694368

-6,422839893

41,25287229

7

17

0,237941125 6,366672126

0,08368133

11,95009688

142,8048154

18

0,231477364

6,59814949

0,325809824

3,069275163

9,420450027

19

0,225513406 6,823662896

0,600079003

1,666447244

2,777046416

20

0,219987977 7,043650873

0,951337991

1,051151125

1,104918688

21

0,214849833 7,258500706

1,475964614

0,677523018

0,45903744

22

0,210055739 7,468556445

2,464771536

0,405717116

0,164606378

23

0,205568931 7,674125376

5,499913818

0,181821031

0,033058887

24

0,201357921 7,875483297

-46,50086284

-0,021504977

0,000462464

25

0,19739556

8,072878857

-4,495154089

-0,222461784

0,049489246

26

0,1936583

8,266537157

-2,284811525

-0,437672862

0,191557534

27

0,190125603 8,456662761

-1,453319254

-0,688080061

0,47345417

28

0,186779461 8,643442222

-0,99190798

-1,008158035

1,016382624

29

0,18360401

8,827046232

-0,680812042

-1,468834184

2,157473861

30

0,180585214 9,007631446

-0,443154345

-2,256550141

5,09201854

31

0,177710601 9,185342047

-0,244118918

-4,096364219

16,78019982

32

0,174969046 9,360311093

-0,064556324

-15,4903491

239,9509154

33

0,17235059

9,532661683

0,108304229

9,233249798

85,25290184

2 87

0,058

959719 31,79

316172

0,396

210363

2,523 91177

6,370

130625

288

0,058857506 31,85201923

0,466015966

2,145849227

4,604668904

289

0,058755823 31,91077505

0,539632275

1,853113771

3,434030647

290

0,058654665 31,96942972

0,617935625

1,618291548

2,618867535

Σ

31,96942972 6012,943228

217,1195483

-745,4382655

327755,5451

N

ν

ω = Σ ν

tg ω

ctg ω = √ Ω

Ω = ctg² ω

Из формулы (23): 𝜴 = 𝟏 = 𝐜𝐭𝐠 𝝎 , получаем:

𝐭𝐚𝐧 𝝎

𝜴 =

𝟏

(𝐭𝐚𝐧 𝝎)𝟐;

(26)

На основании рисунка № 3 получаем:

𝐭𝐚𝐧 𝝎 = 𝒀 ;

(27)

𝑿

𝑿 = 𝑵 + 𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ; (28)

𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎;

(29)

𝐬𝐢𝐧 𝝂

8

𝒀 = 𝑵 + 𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝝎;

(30)

𝒀 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎;

(31)

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 = 𝑵 + 𝟏;

(32)

𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 =

𝟏

(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟐;

(33)

Таблица № 3. Чиcла N, X, Y.

N

X = cos ω / sin ν Y = sin ω / sin ν

X²

Y²

X² + Y² = N + 1

1

1

1

1

1

2

2

0,292893219

1,707106781

0,085786438 2,914213562

3

3

-0,692705341

1,87620876

0,479840689 3,520159311

4

4

-1,630809721

1,529856089

2,659540345 2,340459655

5

5

-2,314982163

0,800535811

5,359142416 0,640857584

6

6

-2,641799539

-0,1445517

6,979104806 0,020895194

7

7

-2,587164132

-1,143058071

6,693418247 1,306581753

8

8

-2,183032076

-2,057758722

4,765629044 4,234370956

9

9

-1,497112502

-2,78543608

2,241345843 7,758654157

10

10

-0,616280273

-3,258864622

0,379801375 10,62019863

11

11

0,366304381

-3,444680116

0,1341789

11,8658211

12

12

1,360697877

-3,338937149

1,851498713 11,14850129

13

13

2,286752423

-2,96154746

5,229236645 8,770763355

14

14

3,078259275

-2,350387167

9,475680165 5,524319835

15

15

3,685126632

-1,55558404

13,5801583

2,419841705

16

16

4,074022642

-0,634302382

16,59766049 0,402339512

17

17

4,227863567

0,353793246

17,87483034 0,125169661

18

18

4,144473699

1,350310245

17,17666224 1,823337759

19

19

3,834691283

2,301117721

14,70485724 5,295142764

20

20

3,320145718

3,158580759

11,02336759

9,97663241

21

21

2,630886889

3,883095953

6,921565822 15,07843418

22

22

1,80300805

4,444002922

3,250838029 19,74916197

23

23

0,876369385

4,819956089

0,768023299

23,2319767

24

24

-0,107500032

4,998844241

0,011556257 24,98844374

25

25

-1,10726888

4,977344234

1,226044373 24,77395563

26

26

-2,083406395

4,760190941

4,340582205 22,65941779

27

27

-2,999505568

4,359239193

8,997033654 19,00296635

28

28

-3,823324341

3,792385923

14,61780901 14,38219099

29

29

-4,527552727

3,082412416

20,4987337

9,501266304

30

30

-5,090321664

2,255798163

25,91137465 5,088625354

31

31

-5,495474975

1,341549403

30,2002452

1,799754802

32

32

-5,732629645

0,370077498

32,86304265 0,136957355

33

9

33

-5,797051868

-0,627845233

33,60581036 0,394189636

34

2 87

15,77

730497

6,251

131736

248,9 23352

39,07

664798

2 88

288

15,4089535

7,180818347

237,4358479 51,56415213

289

289

14,98655242

8,087227376

224,5967534 65,40324663

290

290

14,51165407

8,967268036

210,588104

80,41189603

291

Σ

172,8585736

-233,1718836

22406,53021 20078,46979

42485

N

X = cos ω / sin ν Y = sin ω / sin ν

X²

Y²

X² + Y² = N + 1

Доказательство:

𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 = 𝑵 + 𝟏;

Продифференцируем нашу формулу:

𝒅 (𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 ) = 𝒅 (𝑵 + 𝟏);

𝒅 (𝑿𝟐 ) + 𝒅 (𝒀𝟐 ) = 𝒅 (𝑵);

На основании формул дифференцирования значения 𝒅 (𝑿𝟐 ) + 𝒅 (𝒀𝟐 )

должны быть:

𝟐 ∗ 𝑿 ∗ 𝒅 (𝑿 ) + 𝟐 ∗ 𝒀 ∗ 𝒅 (𝒀 ) = 𝟏 - если N – функция;

или: 𝟐 ∗ 𝑿 ∗ 𝒅 (𝑿 ) + 𝟐 ∗ 𝒀 ∗ 𝒅 (𝒀 ) = 𝟎 - если N – число.

Вычислим дифференциал 𝐭𝐚𝐧 𝝂𝒊 = 𝟏 .

𝑵𝒊

𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂 = 𝒅 𝟏 = −𝟏 ;

(34)

𝑵

𝟐∗𝑵∗ 𝑵

Так как 𝐭𝐚𝐧 𝝂𝒊 = 𝟏 , то 𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂 = −(𝐭𝐚𝐧𝝂)𝟑 .

(35)

𝑵𝒊

𝟐

Соответственно, 𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = 𝒅 𝟏 =

−𝟏

= −(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟑 . (36)

𝑵+𝟏

𝟐∗(𝑵+𝟏)∗ 𝑵+𝟏

𝟐

Общепринятые значения:

[𝒅𝐬𝐢𝐧𝝂] = 𝐜𝐨𝐬𝝂 ;

10

[𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂] = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝝂𝟐 .

Вычислим значения sin ν, ∆ sin ν, d sin ν, cos ν, значения сведём в таблицу

№ 4, где:

∆ ν = ν2 – ν1;

∆ sin ν = sin ν2 – sin ν1:

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = −(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟑 .

𝟐

Таблица №4. Значения ν, ∆ sin ν, d sin ν.

∆ (sin ν)

d (sin ν) = cos ν

N

∆ ν

∆ (sin ν)

d (sin ν) = -sin³ ν / 2

0

0,707106781

1

0,785398163

-0,176776695

-0,129756512

0,816496581

2

-0,169918455 -0,129756512

-0,096225045

-0,077350269

0,866025404

3

-0,091880933 -0,077350269

-0,0625

-0,052786405

0,894427191

4

-0,059951167 -0,052786405

-0,04472136

-0,038965305

0,912870929

5

-0,043113274 -0,038965305

-0,034020691

-0,030283817

0,9258201

6

-0,032937649 -0,030283817

-0,026997462

-0,024411082

0,935414347

7

-0,026229563 -0,024411082

-0,022097087

-0,020220057

0,942809042

8

-0,021530214 -0,020220057

-0,018518519

-0,017105567

0,948683298

9

-0,018086355 -0,017105567

-0,015811388

-0,014716421

0,953462589

10

-0,015473185 -0,014716421

-0,013705061

-0,01283621

0,957427108

11

-0,013434597

-0,01283621

-0,012028131

-0,011325036

0,960768923

12

-0,01180787

-0,011325036

-0,010667311

-0,010088856

0,963624112

13

-0,010485139 -0,010088856

-0,009545044

-0,009062352

0,966091783

14

-0,009392352 -0,009062352

-0,00860663

-0,00819889

0,968245837

15

-0,008477156

-0,00819889

-0,0078125

-0,007464375

0,9701425

16

-0,007701592 -0,007464375

-0,007133401

-0,006833365

0,971825316

17

-0,007037538 -0,006833365

-0,006547285

-0,006286527

0,973328527

18

-0,006463761 -0,006286527

-0,006037256

11

-0,005808936

0,974679434

19

-0,005963958 -0,005808936

-0,00559017

-0,005388908

0,975900073

20

-0,005525429 -0,005388908

-0,005195664

-0,005017174

0,977008421

21

-0,005138144 -0,005017174

-0,004845471

-0,004686302

0,978019294

22

-0,004794094 -0,004686302

-0,004532922

-0,004390269

0,97894501

23

-0,004486808 -0,004390269

-0,004252586

-0,004124145

0,979795897

24

-0,00421101

-0,004124145

-0,004

-0,003883865

0,980580676

25

-0,003962361 -0,003883865

-0,003771464

-0,003666045

0,981306763

26

-0,003737259 -0,003666045

-0,003563891

-0,003467853

0,981980506

27

-0,003532697 -0,003467853

-0,003374683

-0,003286898

0,982607369

28

-0,003346142 -0,003286898

-0,003201644

-0,003121152

0,98319208

29

-0,003175451 -0,003121152

-0,003042903

-0,002968884

0,983738754

30

-0,003018796 -0,002968884

-0,00289686

-0,002828607

0,984250984

31

-0,002874613 -0,002828607

-0,002762136

-0,002699039

0,984731928

32

-0,002741555 -0,002699039

-0,00263754

-0,002579071

0,985184366

33

-0,002618456 -0,002579071

-0,002522038

2 87 -0,000 102747 -0,000 102569

-0,000 102301

-0,000 102569

0,998

262379

288 -0,000102213 -0,000102036

-0,000101771

-0,000102036

0,998268397

289 -0,000101683 -0,000101507

-0,000101245

-0,000101507

0,998274373

290 -0,000101158 -0,000100984

-0,000100723

-0,000100984

0,998280308

Σ

0,058654665 -0,648485743

-0,747616955

-0,648 485743

287,2762485

N

∆ ν

∆ (sin ν)

d (sin ν) = -sin³ ν / 2

∆ (s in ν)

d (sin ν) = cos ν

С увеличением N значения ∆ sin ν и d sin ν становятся практически

равными, в отличие от общепринятого значения.

Аналогичные значения получаются и при сравнении ∆ cos ν и d cos ν,

∆ tg ν и d tg ν, ∆ ctg ν и d ctg ν.

12

Вывод напрашивается сам собой: общепринятые значения

дифференциалов тригонометрических функций подсчитаны не правильно.

Соответственно, не правильно подсчитаны общепринятые значения

интегралов тригонометрических функций.

На основании ранее полученных формул, получим следующие формулы:

𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂 = 𝒅 𝟏 = −𝟏 ; 𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂 = −(𝐭𝐚𝐧𝝂)𝟑 ;

(35)

𝑵

𝟐∗𝑵∗ 𝑵

𝟐

𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝎 =

−𝟏

; 𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝎 = −(𝐭𝐚𝐧 𝝎)𝟑;

(37)

𝟐∗𝜴∗ 𝜴

𝟐

d (ctg ν) = 1 / (2 * √ N) = tg ν / 2 = 1 / (2 *ctg ν)

(38)

𝒅 𝐜𝐭𝐠 𝛎 = 𝐝 𝐍 = 𝟏 = 𝐭𝐚𝐧𝛎 ;

(39)

𝟐∗ 𝐍

𝟐

𝒅 𝐜𝐭𝐠 𝛚 = 𝐝 𝛀 = 𝟏 = 𝐭𝐚𝐧𝛚;

(40)

𝟐∗ 𝛀

𝟐

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = 𝒅 𝟏 =

−𝟏

= −(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟑;

(36)

𝑵+𝟏

𝟐∗(𝑵+𝟏)∗ 𝑵+𝟏

𝟐

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝎 = 𝒅 𝟏 =

−𝟏

= −(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟑;

(41)

𝜴+𝟏

𝟐∗(𝜴+𝟏)∗ 𝜴+𝟏

𝟐

𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝂 = 𝒅 𝑵 =

𝟏

= (𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟒;

(42)

𝑵+𝟏

𝟐∗ 𝑵+𝟏 ∗ 𝑵 ∗ 𝑵+𝟏

𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝂

𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝎 = 𝒅 𝜴 =

𝟏

= (𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟒;

(43)

𝜴+𝟏

𝟐∗ 𝜴+𝟏 ∗ 𝜴 ∗ 𝜴+𝟏

𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝎

Отношения полученных значений дифференциалов к общепринятым:

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = −𝐬𝐢𝐧𝝂𝟑;

[𝐝𝐬𝐢𝐧 𝝂]

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂

𝒅 𝐭𝐚𝐧 𝝂 = −𝐬𝐢𝐧𝝂𝟑;

[𝐝𝐭𝐚𝐧 𝝂]

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂

𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝂 = −𝐬𝐢𝐧𝝂𝟑;

[𝐝𝐜𝐨𝐬 𝝂]

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂

𝒅 𝐜𝐭𝐠 𝝂 = −𝐬𝐢𝐧𝝂𝟑;

[𝐝𝐜𝐭𝐠 𝝂]

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = 𝒅𝐜𝐨𝐬𝝂 = 𝒅𝐭𝐚𝐧𝝂 = 𝒅𝐜𝐭𝐠𝝂 = −𝐬𝐢𝐧𝝂𝟑

[𝐝𝐬𝐢𝐧 𝝂]

[𝐝𝐜𝐨𝐬 𝝂]

[𝐝𝐭𝐚𝐧 𝝂]

[𝐝𝐜𝐭𝐠 𝝂]

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂

𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛎 ∗ 𝐝 𝐬𝐢𝐧 𝛎 = − (𝐬𝐢𝐧 𝛎)𝟒;

(44)

13

𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛚 ∗ 𝐝 𝐬𝐢𝐧 𝛚 = − (𝐬𝐢𝐧 𝛚)𝟒;

(45)

𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝝂)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛎 ∗ 𝐝 𝐜𝐨𝐬 𝛎 = (𝐬𝐢𝐧 𝛎)𝟒;

(46)

𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛚 ∗ 𝐝 𝐜𝐨𝐬 𝛚 = (𝐬𝐢𝐧 𝛚)𝟒;

(47)

Проверка полученных формул:

𝒅 ((𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟐 + (𝐜𝐨𝐬 𝝂)𝟐) = 𝒅 𝟏 = 𝟎 ;

𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟐 + 𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝝂)𝟐 = − (𝐬𝐢𝐧 𝛎)𝟒 + (𝐬𝐢𝐧 𝛎)𝟒 = 0;

𝒅(𝐭𝐚𝐧 𝛎)𝟐 =

𝟐 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝛎 ∗ 𝐝 𝐭𝐚𝐧 𝛎 = 𝟐 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝛎 ∗ −(𝐭𝐚𝐧𝛎)𝟑 = − (𝐭𝐚𝐧 𝛎)𝟒 = −𝟏

𝟐

𝐍𝟐; (48)

𝒅(𝐭𝐚𝐧 𝝎)𝟐 =

𝟐 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝛚 ∗ 𝐝 𝐭𝐚𝐧 𝛚 = 𝟐 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝛚 ∗ −(𝐭𝐚𝐧𝝎)𝟑 = − (𝐭𝐚𝐧 𝛚)𝟒 = −𝟏

𝟐

𝛀𝟐; (49)

𝒅(𝒄𝒕𝒈 𝝂)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝂 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 ∗ 𝒕𝒂𝒏 𝝂 = 𝟏;

𝟐

𝟐

𝒅(𝒄𝒕𝒈 𝝂)𝟐 = 𝒅 ( 𝑵) = 𝒅 𝑵 ∗ 𝑵 = 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝒅 𝑵 = 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝟏 =

𝟐∗ 𝐍

𝟏;

Разница чисел: ∆ N = N + 1 – N = 1;

∆ N = d (ctg² ν) = 1.

Общепринятое значение:

𝒅(𝒄𝒕𝒈 𝝂)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝂 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 ∗ −𝟏 = −𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝂 ;

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟑

−𝟐∗𝐜𝐨𝐬𝝂 ≠ 𝟏 .

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟑

𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 = 𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 + 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝂 =

−(𝐭𝐚𝐧𝛎)𝟐 + (𝒕𝒂𝒏 𝝂)𝟐 = 𝟎;

𝟐

𝟐

Общепринятое значение:

𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 = 𝒅 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝂 + 𝒕𝒂𝒏 𝝂 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝂 =

𝟏

∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝂 − 𝟏 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = 𝟏 ∗ 𝟏 − 𝟏 ∗ 𝟏 = 𝟎 .

𝐜𝐨𝐬 𝝂𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝝂

𝐜𝐨𝐬 𝝂𝟏

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝝂

14

Соответственно, для угла ω:

𝒅(𝒄𝒕𝒈 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝎 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝎 ∗ 𝒕𝒂𝒏 𝝎 = 𝟏;

𝟐

Общепринятое значение:

𝒅(𝒄𝒕𝒈 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝎 ∗ 𝒅 𝒄𝒕𝒈 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝒄𝒕𝒈 𝝎 ∗ −𝟏 = −𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝎 ;

𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟑

−𝟐∗𝐜𝐨𝐬𝝎 ≠ 𝟏 .

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝝎𝟑

Проверка значений:

𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ; 𝒀 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎 .

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝒅𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ´∗𝐬𝐢𝐧 𝝂− 𝐬𝐢𝐧 𝝂 ´∗𝐜𝐨𝐬 𝝎 = 𝒔𝒊 𝒏𝝎 𝟒 + 𝒄𝒐 𝒔 𝝎 𝟐 ∗ 𝒔𝒊 𝒏 𝝂 𝟐 ;

(50)

𝐬𝐢𝐧 𝝂 𝟐

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝎∗ 𝒔𝒊 𝒏 𝝂

𝒅𝒀 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎 ´∗𝐬𝐢𝐧 𝝂− 𝐬𝐢𝐧 𝝂 ´∗𝐬𝐢𝐧 𝝎 = 𝒔𝒊𝒏 𝝎∗(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟐 −(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟑 ;

(51)

𝐬𝐢𝐧 𝝂 𝟐

𝟐∗𝒔𝒊 𝒏 𝝂

𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 = 𝑵 + 𝟏;

𝒅 (𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 ) = 𝒅 (𝑵 + 𝟏);

𝒅 (𝑿𝟐 ) + 𝒅 (𝒀𝟐 ) = 𝒅 (𝑵);

Должно быть:

𝟐 ∗ 𝑿 ∗ 𝒅 (𝑿 ) + 𝟐 ∗ 𝒀 ∗ 𝒅 (𝒀 ) = 𝟏;

или: 𝟐 ∗ 𝑿 ∗ 𝒅 (𝑿 ) + 𝟐 ∗ 𝒀 ∗ 𝒅 (𝒀 ) = 𝟎.

𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ∗ 𝒔𝒊 𝒏 𝝎 𝟒 + 𝒄𝒐 𝒔 𝝎 𝟐 ∗ 𝒔𝒊 𝒏𝝂 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝝎 ∗ 𝒔𝒊 𝒏 𝝎∗(𝐬𝐢𝐧 𝝂)𝟐 −(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟑 = 𝟏;

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝟐∗𝒄𝒐 𝒔 𝝎∗ 𝒔𝒊 𝒏 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂

𝟐∗𝒔𝒊 𝒏 𝝂

Таблица № 5. Значения 2 * X * d (X ) + 2 * Y * d ( Y ).

d ( X ) = (sin´ ω + cos² ω * sin² ν)

d ( Y ) =

(sin ω *

sin² ν -

sin³ ω)

2 * X * d ( X ) +

(2 * cos ω * sin ν)

(2 * sin ν)

2 * X * d ( X )

2 * Y * d ( Y )

+ 2 * Y * d ( Y )

0,5

0

1

0

1

4,881430372

-0,544627825

2,859475708

-1,859475708

1

15

-2,322661871

-0,591043122

3,217840566

-2,217840566

1

-0,498972482

-0,205071037

1,627458348

-0,627458348

1

-0,207699255

0,023958864

0,961640143

0,038359857

1

-0,188711772

-0,010109376

0,997077345

0,002922655

1

-0,202938761

0,021902547

1,050071765

-0,050071765

1

-0,577574005

0,369753058

2,52172516

-1,52172516

1

-2,085282839

0,941289957

6,243806017

-5,243806017

1

-8,346882623

1,425042044

10,2880382

-9,288038201

1

16,0308267

1,559553245

11,74432411

-10,74432411

1

3,56549447

1,303277229

9,703121512

-8,703121512

1

1,283097338

0,82191016

5,868251891

-4,868251891

1

0,433077986

0,354463443

2,666252654

-1,666252654

1

0,164816183

0,069021347

1,214737011

-0,214737011

1

0,120992841

-0,011149926

0,985855151

0,014144849

1

0,117543592

0,008597474

0,993916544

0,006083456

1

0,130174759

-0,029256879

1,079011728

-0,079011728

1

0,27866255

-0,247090728

2,137169706

-1,137169706

1

0,792826374

-0,675081391

5,264598182

-4,264598182

1

2,023865931

-1,242452518

10,64912469

-9,649124685

1

4,741837043

-1,811333274

17,09914072

-16,09914072

1

12,84876689

-2,232440656

22,52053186

-21,52053186

1

-116,17371

-2,398289877

24,97735508

-23,97735508

1

-10,68073077

-2,275599249

23,65288161

-22,65288161

1

-4,602414569

-1,909314155

19,17739989

-18,17739989

1

-2,20339745

-1,401414937

13,21820584

-12,21820584

1

-0,998703127

-0,875007461

7,636731952

-6,636731952

1

-0,407772888

-0,436740147

3,692426503

-2,692426503

1

-0,164149214

-0,148759896

1,671144601

-0,671144601

1

-0,095076411

-0,016764228

1,04498008

-0,04498008

1

-0,086907601

0,004839283

0,996418181

0,003581819

1

-0,085644943

-0,005593458

0,992976348

0,007023652

1

-0,098657799

0,037793007

1,122602889

-0,122602889

1

-0,189506605

0,20366704

2,052433835

-1,052433835

1

0,517956468

-0,898006378

15,52476353

-14,52476353

1

0,79053196

-1,223552847

22,94385267

-21,94385267

1

1837,033778

89,89744322

15026,99231

-14736,99231

290

d ( X ) = (sin´ ω + cos² ω * sin² ν)

d ( Y ) =

(sin ω *

sin² ν -

sin³ ω)

2 * X * d ( X ) +

(2 * cos ω * sin ν)

(2 * sin ν)

2 * X * d ( X )

2 * Y * d ( Y )

+ 2 * Y * d ( Y )

Общепринятое значение:

𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝂 = 𝐜𝐨𝐬 𝝂 ; 𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝝎 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎;

16

𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝂 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝂; 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝎 = − 𝐜𝐨𝐬 𝝎;

𝒅𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ´∗𝐬𝐢𝐧 𝝂− 𝐬𝐢𝐧 𝝂 ´∗𝐜𝐨𝐬 𝝎 = =−𝐬𝐢𝐧 𝝎∗𝐬𝐢𝐧 𝝂 − 𝐜𝐨𝐬 𝝎∗𝐜𝐨𝐬 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂 𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟐

;

(52)

𝒅𝒀 = 𝒔𝒊 𝒏 𝝎 ´∗𝒔𝒊𝒏 𝝂− 𝒔𝒊 𝒏𝝂 ´∗𝒔𝒊 𝒏 𝝎 = 𝒄𝒐 𝒔 𝝎∗𝒔𝒊 𝒏𝝂 −𝒔𝒊 𝒏 𝝎∗𝒄𝒐 𝒔 𝝂 ;

(53)

𝒔𝒊 𝒏 𝝂 𝟐

𝒔𝒊 𝒏 𝝂𝟐

𝟐 ∗ 𝑿 ∗ 𝒅𝑿 + 𝟐 ∗ 𝒀 ∗ 𝒅𝒀 = −𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝂∗ 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐 +𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐 = −𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟑

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟑 .

Таблица № 6. Значения 2 * X * d (X ) + 2 * Y * d ( Y ) при общепринятых

значениях.

N

2 * X * d ( X )

2 * Y * d ( Y )

2 * X * d ( X ) + 2 * Y * d ( Y )

(-2 )* cos ν / sin³ ν

1

-4

0

-4

-4

2

-1,242640687

-7,242640687

-8,485281374

-8,485281374

3

0,93710275

-14,79350921

-13,85640646

-13,85640646

4

-5,648353017

-14,35164698

-20

-20

5

-20,26036124

-6,57245449

-26,83281573

-26,83281573

6

-34,9542445

0,661388102

-34,2928564

-34,2928564

7

-41,33279789

-0,999223088

-42,33202098

-42,33202098

8

-35,94277549

-14,96891275

-50,91168825

-50,91168825

9

-21,78829742

-38,21170258

-60

-60

10

-6,418822763

-63,15128576

-69,57010852

-69,57010852

11

1,633560706

-81,23255567

-79,59899497

-79,59899497

12

-3,740989982

-86,32565201

-90,06664199

-90,06664199

13

-24,16391005

-76,79152566

-100,9554357

-100,9554357

14

-56,43929517

-55,81042643

-112,2497216

-112,2497216

15

-93,72640548

-30,2090616

-123,9354671

-123,9354671

16

-127,6129594

-8,387040623

-136

-136

17

-150,3912062

1,959403684

-148,4318025

-148,4318025

18

-156,9414628

-4,27888333

-161,2203461

-161,2203461

19

-145,8421255

-28,51383227

-174,3559577

-174,3559577

20

-119,5698939

-68,25981625

-187,8297101

-187,8297101

21

-83,86917108

-117,7641595

-201,6333306

-201,6333306

22

-46,52070993

-169,238415

-215,759125

-215,759125

23

-15,8147446

-214,3851685

-230,1999131

-230,1999131

24

0,961524101

-245,9104984

-244,9489743

-244,9489743

25

-1,237926976

-258,762073

-260

-260

26

-24,43060224

-250,9164515

-275,3470537

-275,3470537

27

-67,34879197

-223,6357437

-290,9845357

-290,9845357

28

-125,7013066

-181,2058455

-306,9071521

-306,9071521

29

-192,8665491

-130,2433393

-323,1098884

-323,1098884

30

-260,8794113

-78,70857438

-339,5879857

-339,5879857

31

-321,5507956

-34,78612364

-356,3369192

-356,3369192

32

-367,5598504

-5,792530065

-373,3523805

-373,3523805

17

33

-393,3806686

2,750408639

-390,63026

-390,63026

34

-395,9410252

-12,22560744

-408,1666326

-408,1666326

35

-374,9540315

-51,0037129

-425,9577444

-425,9577444

36

-332,9080691

-111,0919309

-444

-444

37

-274,7407837

-187,5491686

-462,2899523

-462,2899523

2 88

-8280, 137702

-1528, 847567

-9808, 985269

-9808, 985269

289

-7878,688928

-1981,311072

-9860

-9860

290

-7432,632157

-2478,470708

-9911,102865

-9911,102865

42195

-617650,492

-539630,6657

-1157281,158

-11,71276549

N

2 * X * d ( X )

2 * Y * d ( Y )

2 * X * d ( X ) + 2 * Y * d ( Y )

(-2 )* cos ν / sin³ ν

Но значения −𝟐∗𝐜𝐨𝐬 𝝂

𝐬𝐢𝐧 𝝂𝟑 являются ни чем иным, как отношениями

значений общепринятых дифференциалов к значениям

дифференциалам, полученных нами.

Значения по таблице № 6 не равны ни 0, ни 1, что однозначно

доказывает, что общепринятые формулы дифференцирования

тригонометрических функций определены не правильно.

2. Проверка значений:

𝑿𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐 ;

(53)

𝑵+𝟏

𝒀𝟐

= 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐 .

(54)

𝑵+𝟏

Продифференцируем значения (53) и (54):

𝒅 𝑿𝟐 = 𝑿𝟐 ´∗ 𝑵+𝟏 − 𝑿𝟐 ∗ 𝑵+𝟏 ´ = 𝟐∗𝑿∗𝒅𝑿 − 𝑿𝟐

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏 𝟐

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏 𝟐 ;

(55)

𝒅 𝒀𝟐 = 𝒀𝟐 ´∗ 𝑵+𝟏 − 𝒀𝟐 ∗ 𝑵+𝟏 ´ = 𝟐∗𝒀∗𝒅𝒀 − 𝒀𝟐

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏 𝟐

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏 𝟐 ;

(56)

𝒅 𝑿𝟐 + 𝒅 𝒀𝟐 = 𝟐∗𝑿∗𝒅𝑿 + 𝟐∗𝒀∗𝒅𝒀 − 𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 .

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏 𝟐

𝑵+𝟏 𝟐

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

𝒅( 𝑿𝟐 ) = 𝐝(𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐);

𝑵+𝟏

𝒅( 𝒀𝟐 ) = 𝐝(𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐);

𝑵+𝟏

18

𝒅 𝑿𝟐 + 𝒅 𝒀𝟐 = 𝐝(𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐) + 𝐝(𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐) = 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟐 .

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

Таким образом, если числа N является функцией, значения

d (cos² ω + sin² ω) равны 0, что и требовалось доказать.

В таблице № 7 представлены значения d (X2 / (N + 1)) и d (Y2 / (N + 1)).

Таблица №

𝑿𝟐

7. Значения d (

+ 𝒀𝟐 ) .

𝑵+𝟏

𝑵+𝟏

2 * X * d ( X ) / (N + 1) -

2

*

Y * d ( Y ) / (N + 1) - 2 * X * d ( X ) / (N + 1)-

N

-X² / (N + 1)²

- Y² / (N + 1)²

- X² / (N + 1)² +

+ 2 * Y * d ( Y ) / (N + 1) -

- Y² / (N + 1)²

1

0,25

-0,25

0

2

0,943626743

-0,943626743

0

3

0,774470098

-0,774470098

0

4

0,219110056

-0,219110056

0

5

0,01140829

-0,01140829

0

6

8,91039E-06

-8,91039E-06

1,51246E-17

7

0,026674311

-0,026674311

0

8

0,221356758

-0,221356758

0

9

0,601967143

-0,601967143

0

10

0,932137346

-0,932137346

0

11

0,977761878

-0,977761878

0

12

0,735438349

-0,735438349

0

13

0,392481071

-0,392481071

0

14

0,135636043

-0,135636043

0

15

0,02287357

-0,02287357

0

16

0,000560128

-0,000560128

0

17

4,83563E-05

-4,83563E-05

-8,18573E-18

18

0,009209309

-0,009209309

1,73472E-17

19

0,070096342

-0,070096342

0

20

0,225698853

-0,225698853

0

21

0,469750366

-0,469750366

0

22

0,737295649

-0,737295649

0

23

0,937022121

-0,937022121

0

24

0,999075713

-0,999075713

0

25

0,907912541

-0,907912541

0

26

0,704319911

-0,704319911

0

27

0,460602972

-0,460602972

0

28

0,245954123

-0,245954123

0

29

0,100304513

-0,100304513

0

30

0,026944961

-0,026944961

0

31

0,003163201

-0,003163201

6,07153E-18

32

1,72243E-05

-1,72243E-05

-6,58653E-18

33

0,000134416

-0,000134416

1,21702E-17

19

34

0,005650683

-0,005650683

-1,56125E-17

35

0,034385173

-0,034385173

0

2 87

0,018

409824

-0,018 409824

0

288

0,03183465

-0,03183465

0

289

0,050863076

-0,050863076

0

290

0,076358014

-0,076358014

0

2 * X * d (

X ) / (N + 1) -

2

*

Y * d (

Y ) / (N + 1) - 2 * X * d (

X ) / (N + 1)-

N

-X² / (N + 1)²

- Y² / (N + 1)²

- X² / (N + 1)² +

+ 2 * Y * d ( Y ) / (N + 1) -

- Y² / (N + 1)²

Если числа N является функцией, значения d (cos² ω + sin² ω) равны 0.

Общепринятое значение:

𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛚 ∗ 𝐝 𝐜𝐨𝐬 𝛚 = 𝟐 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝎 ∗ − 𝐬𝐢𝐧 𝝎 = − 𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∗ 𝝎;

𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟐 = 𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛚 ∗ 𝐝 𝐬𝐢𝐧 𝛚 = 𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧 𝛚 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝛚 = 𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∗ 𝛚;

𝒅(𝐜𝐨𝐬 𝝎)𝟐 + 𝒅(𝐬𝐢𝐧 𝝎)𝟐 = − 𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∗ 𝝎 + 𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∗ 𝛚 = 𝟎.

Значения d (cos² ω + sin² ω) всегда равны 0 при общепринятых значениях

дифференциалов тригонометрических функций и только при условии,

что числа N являются функцией угла.

Заключение.

Доказательство двойственной природы числа всего лишь часть новой

теории чисел – тригонометрической теории чисел или, как я еѐ называю,

волновой теории чисел или волновой арифметики.

Волновая теория чисел наконец-то позволяет в отличие от общепринятых

теорий, включая и высшую математику, точно, а не приблизительно

производить всевозможные расчѐты, то есть делать то, для чего и

предназначена математика.

20

21