А.В. Колодин.
Число «℮» и константа Эйлера.
Прежде, чем представить работу «Формула числа» на суд читателей, я решил проверить, как согласуются полученные мною результаты с общепринятыми понятиями и константами высшей математики.
Как нельзя лучше к моей работе подходит известное заявление Л. Кронекера, сказанное им в 1886 году на 59 съезде учёных и исследователей в Берлине: «Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих».
Он был убеждён, что основой математики должно быть число, а основой всех чисел – натуральное число, а потому в математике не существует ничего, кроме того, что может быть представлено в виде конечного ряда положительных целых чисел.
Таких же взглядов придерживаюсь и я.
Эта работа я посвящаю Леонарду Эйлеру, его числу ℮, его константе и тому, что получается из числа ℮.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии.
℮ — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число ℮ называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «℮».
Число ℮ играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.
В экономическом смысле число ℮ означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимально частой капитализации процентов.
Число ℮ может быть определено несколькими способами.
-
Через предел:
(второй замечательный предел).
Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:
Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение 
(греческая буква «гамма»).
Значение константы:
≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…
А что же сам Леонард Эйлер, Академик Петербургской Академии наук?
Откроем книгу Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечных», том I, §122 и дадим слово автору:
«Так как для построения логарифмов можно принять какое угодно основание a, то его можно выбрать так, чтобы k = 1.
Пусть следовательно k = 1, тогда из найденного выше (§116) ряда
a = 1 + 1/1 +1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) и т.д.; если его члены обратить в десятичные дроби и действительно сложить, то они дадут для a значение 2,7182818284590045 верное вплоть до последнего знака.
Логарифмы, построенные на этом основании, обычно называют натуральными или гиперболическими, ибо квадратура гиперболы может быть выражена посредством логарифмом этого ряда.
Будем, ради краткости вместо числа 2,7182818284590045 и т.д. писать постоянно букву ℮, которая и будет означать основание натуральных или гиперболических логарифмов, ему соответствует k = 1: эта буква ℮ будет выражать сумму ряда 1 + 1/1 +1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) и т.д. до бесконечности»…
Расчёты будем проводить в табличной форме.
N – натуральные целые число, от 0 до 100: 0,1,2, 3, 4 и т.д.
∑R - сумма членов гармонического ряда: 1/1 + ½ +1/3 + ¼ +…+ 1/N.
E – фактическое число ℮, функция от значения числа N.
Таблица №1. О числе «℮».
|
N |
Расчёт ∑R |
E = ((N+1)/N)^N |
℮ |
∆ = ℮ - E |
% |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2,718281828 |
0,718281828 |
26,4% |
|
2 |
1,5 |
2,25 |
2,718281828 |
0,468281828 |
17,2% |
|
3 |
1,8333333 |
2,37037037 |
2,718281828 |
0,347911458 |
12,8% |
|
4 |
2,0833333 |
2,44140625 |
2,718281828 |
0,276875578 |
10,2% |
|
5 |
2,2833333 |
2,48832 |
2,718281828 |
0,229961828 |
8,5% |
|
6 |
2,4500000 |
2,521626372 |
2,718281828 |
0,196655456 |
7,2% |
|
7 |
2,5928571 |
2,546499697 |
2,718281828 |
0,171782131 |
6,3% |
|
8 |
2,7178571 |
2,565784514 |
2,718281828 |
0,152497314 |
5,6% |
|
9 |
2,8289683 |
2,581174792 |
2,718281828 |
0,137107036 |
5,0% |
|
10 |
2,9289683 |
2,59374246 |
2,718281828 |
0,124539368 |
4,6% |
|
11 |
3,0198773 |
2,604199012 |
2,718281828 |
0,114082816 |
4,2% |
|
12 |
3,1032107 |
2,61303529 |
2,718281828 |
0,105246538 |
3,9% |
|
13 |
3,1801338 |
2,620600888 |
2,718281828 |
0,097680940 |
3,6% |
|
14 |
3,2515623 |
2,627151556 |
2,718281828 |
0,091130272 |
3,4% |
|
15 |
3,3182290 |
2,632878718 |
2,718281828 |
0,085403110 |
3,1% |
|
16 |
3,3807290 |
2,637928497 |
2,718281828 |
0,080353331 |
3,0% |
|
17 |
3,4395525 |
2,642414375 |
2,718281828 |
0,075867453 |
2,8% |
|
18 |
3,4951081 |
2,646425821 |
2,718281828 |
0,071856007 |
2,6% |
|
19 |
3,5477397 |
2,650034327 |
2,718281828 |
0,068247501 |
2,5% |
|
20 |
3,5977397 |
2,653297705 |
2,718281828 |
0,064984123 |
2,4% |
|
21 |
3,6453587 |
2,656263214 |
2,718281828 |
0,062018614 |
2,3% |
|
22 |
3,6908133 |
2,658969859 |
2,718281828 |
0,059311969 |
2,2% |
|
23 |
3,7342915 |
2,661450119 |
2,718281828 |
0,056831709 |
2,1% |
|
24 |
3,7759582 |
2,663731258 |
2,718281828 |
0,054550570 |
2,0% |
|
25 |
3,8159582 |
2,665836331 |
2,718281828 |
0,052445497 |
1,9% |
|
26 |
3,8544197 |
2,667784967 |
2,718281828 |
0,050496861 |
1,9% |
|
27 |
3,8914568 |
2,669593978 |
2,718281828 |
0,048687850 |
1,8% |
|
28 |
3,9271710 |
2,671277853 |
2,718281828 |
0,047003975 |
1,7% |
|
29 |
3,9616538 |
2,672849144 |
2,718281828 |
0,045432684 |
1,7% |
|
30 |
3,9949871 |
2,674318776 |
2,718281828 |
0,043963052 |
1,6% |
|
31 |
4,0272452 |
2,675696306 |
2,718281828 |
0,042585522 |
1,6% |
|
32 |
4,0584952 |
2,676990129 |
2,718281828 |
0,041291699 |
1,5% |
|
33 |
4,0887982 |
2,678207651 |
2,718281828 |
0,040074177 |
1,5% |
|
34 |
4,1182100 |
2,679355428 |
2,718281828 |
0,038926400 |
1,4% |
|
35 |
4,1467814 |
2,680439286 |
2,718281828 |
0,037842542 |
1,4% |
|
36 |
4,1745592 |
2,68146442 |
2,718281828 |
0,036817408 |
1,4% |
|
37 |
4,2015862 |
2,682435477 |
2,718281828 |
0,035846351 |
1,3% |
|
38 |
4,2279020 |
2,683356626 |
2,718281828 |
0,034925202 |
1,3% |
|
39 |
4,2535430 |
2,684231618 |
2,718281828 |
0,034050210 |
1,3% |
|
40 |
4,2785430 |
2,685063838 |
2,718281828 |
0,033217990 |
1,2% |
|
41 |
4,3029333 |
2,685856348 |
2,718281828 |
0,032425480 |
1,2% |
|
42 |
4,3267428 |
2,686611922 |
2,718281828 |
0,031669906 |
1,2% |
|
43 |
4,3499986 |
2,687333085 |
2,718281828 |
0,030948743 |
1,1% |
|
44 |
4,3727259 |
2,688022135 |
2,718281828 |
0,030259693 |
1,1% |
|
45 |
4,3949481 |
2,688681171 |
2,718281828 |
0,029600657 |
1,1% |
|
46 |
4,4166872 |
2,689312111 |
2,718281828 |
0,028969717 |
1,1% |
|
47 |
4,4379638 |
2,689916715 |
2,718281828 |
0,028365113 |
1,0% |
|
48 |
4,4587972 |
2,690496599 |
2,718281828 |
0,027785229 |
1,0% |
|
49 |
4,4792053 |
2,691053247 |
2,718281828 |
0,027228581 |
1,0% |
|
50 |
4,4992053 |
2,691588029 |
2,718281828 |
0,026693799 |
1,0% |
|
51 |
4,5188132 |
2,692102209 |
2,718281828 |
0,026179619 |
1,0% |
|
52 |
4,5380440 |
2,692596954 |
2,718281828 |
0,025684874 |
0,9% |
|
53 |
4,5569119 |
2,693073347 |
2,718281828 |
0,025208481 |
0,9% |
|
54 |
4,5754304 |
2,693532389 |
2,718281828 |
0,024749439 |
0,9% |
|
55 |
4,5936122 |
2,693975012 |
2,718281828 |
0,024306816 |
0,9% |
|
56 |
4,6114694 |
2,694402081 |
2,718281828 |
0,023879747 |
0,9% |
|
57 |
4,6290132 |
2,694814402 |
2,718281828 |
0,023467426 |
0,9% |
|
58 |
4,6462546 |
2,695212726 |
2,718281828 |
0,023069102 |
0,8% |
|
59 |
4,6632037 |
2,695597753 |
2,718281828 |
0,022684075 |
0,8% |
|
60 |
4,6798704 |
2,695970139 |
2,718281828 |
0,022311689 |
0,8% |
|
61 |
4,6962639 |
2,696330496 |
2,718281828 |
0,021951332 |
0,8% |
|
62 |
4,7123929 |
2,696679398 |
2,718281828 |
0,021602430 |
0,8% |
|
63 |
4,7282659 |
2,697017382 |
2,718281828 |
0,021264446 |
0,8% |
|
64 |
4,7438909 |
2,697344953 |
2,718281828 |
0,020936875 |
0,8% |
|
65 |
4,7592755 |
2,697662584 |
2,718281828 |
0,020619244 |
0,8% |
|
66 |
4,7744270 |
2,697970722 |
2,718281828 |
0,020311106 |
0,7% |
|
67 |
4,7893524 |
2,698269786 |
2,718281828 |
0,020012042 |
0,7% |
|
68 |
4,8040583 |
2,698560171 |
2,718281828 |
0,019721657 |
0,7% |
|
69 |
4,8185510 |
2,698842248 |
2,718281828 |
0,019439580 |
0,7% |
|
70 |
4,8328368 |
2,699116371 |
2,718281828 |
0,019165457 |
0,7% |
|
71 |
4,8469213 |
2,69938287 |
2,718281828 |
0,018898958 |
0,7% |
|
72 |
4,8608102 |
2,699642059 |
2,718281828 |
0,018639769 |
0,7% |
|
73 |
4,8745088 |
2,699894235 |
2,718281828 |
0,018387593 |
0,7% |
|
74 |
4,8880223 |
2,700139679 |
2,718281828 |
0,018142149 |
0,7% |
|
75 |
4,9013556 |
2,700378656 |
2,718281828 |
0,017903172 |
0,7% |
|
76 |
4,9145135 |
2,70061142 |
2,718281828 |
0,017670408 |
0,7% |
|
77 |
4,9275005 |
2,700838208 |
2,718281828 |
0,017443620 |
0,6% |
|
78 |
4,9403211 |
2,701059249 |
2,718281828 |
0,017222579 |
0,6% |
|
79 |
4,9529793 |
2,701274758 |
2,718281828 |
0,017007070 |
0,6% |
|
80 |
4,9654793 |
2,701484941 |
2,718281828 |
0,016796887 |
0,6% |
|
81 |
4,9778250 |
2,701689991 |
2,718281828 |
0,016591837 |
0,6% |
|
82 |
4,9900201 |
2,701890096 |
2,718281828 |
0,016391732 |
0,6% |
|
83 |
5,0020683 |
2,702085431 |
2,718281828 |
0,016196397 |
0,6% |
|
84 |
5,0139730 |
2,702276166 |
2,718281828 |
0,016005662 |
0,6% |
|
85 |
5,0257377 |
2,702462461 |
2,718281828 |
0,015819367 |
0,6% |
|
86 |
5,0373656 |
2,702644469 |
2,718281828 |
0,015637359 |
0,6% |
|
87 |
5,0488599 |
2,702822336 |
2,718281828 |
0,015459492 |
0,6% |
|
88 |
5,0602235 |
2,702996202 |
2,718281828 |
0,015285626 |
0,6% |
|
89 |
5,0714595 |
2,703166202 |
2,718281828 |
0,015115626 |
0,6% |
|
90 |
5,0825706 |
2,703332461 |
2,718281828 |
0,014949367 |
0,5% |
|
91 |
5,0935596 |
2,703495103 |
2,718281828 |
0,014786725 |
0,5% |
|
92 |
5,1044292 |
2,703654244 |
2,718281828 |
0,014627584 |
0,5% |
|
93 |
5,1151819 |
2,703809996 |
2,718281828 |
0,014471832 |
0,5% |
|
94 |
5,1258202 |
2,703962466 |
2,718281828 |
0,014319362 |
0,5% |
|
95 |
5,1363465 |
2,704111756 |
2,718281828 |
0,014170072 |
0,5% |
|
96 |
5,1467631 |
2,704257966 |
2,718281828 |
0,014023862 |
0,5% |
|
97 |
5,1570724 |
2,70440119 |
2,718281828 |
0,013880638 |
0,5% |
|
98 |
5,1672765 |
2,704541517 |
2,718281828 |
0,013740311 |
0,5% |
|
99 |
5,1773775 |
2,704679036 |
2,718281828 |
0,013602792 |
0,5% |
|
100 |
5,1873775 |
2,704813829 |
2,718281828 |
0,013467999 |
0,5% |
Таблица №2. О постоянной Э́йлера — Маскеро́ни.
|
N |
Расчёт ∑R |
lnN |
Разница ∑R - lnN |
Константа Эйлера γ |
Разница ∆γ |
% |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0,577215665 |
0,422784335 |
73,2% |
|
2 |
1,5 |
0,693147181 |
0,806852819 |
0,577215665 |
0,229637155 |
39,8% |
|
3 |
1,8333333 |
1,098612289 |
0,734721045 |
0,577215665 |
0,157505380 |
27,3% |
|
4 |
2,0833333 |
1,386294361 |
0,697038972 |
0,577215665 |
0,119823307 |
20,8% |
|
5 |
2,2833333 |
1,609437912 |
0,673895421 |
0,577215665 |
0,096679756 |
16,7% |
|
6 |
2,4500000 |
1,791759469 |
0,658240531 |
0,577215665 |
0,081024866 |
14,0% |
|
7 |
2,5928571 |
1,945910149 |
0,646946994 |
0,577215665 |
0,069731329 |
12,1% |
|
8 |
2,7178571 |
2,079441542 |
0,638415601 |
0,577215665 |
0,061199936 |
10,6% |
|
9 |
2,8289683 |
2,197224577 |
0,631743677 |
0,577215665 |
0,054528012 |
9,4% |
|
10 |
2,9289683 |
2,302585093 |
0,626383161 |
0,577215665 |
0,049167496 |
8,5% |
|
11 |
3,0198773 |
2,397895273 |
0,621982072 |
0,577215665 |
0,044766407 |
7,8% |
|
12 |
3,1032107 |
2,48490665 |
0,618304028 |
0,577215665 |
0,041088364 |
7,1% |
|
13 |
3,1801338 |
2,564949357 |
0,615184398 |
0,577215665 |
0,037968733 |
6,6% |
|
14 |
3,2515623 |
2,63905733 |
0,612504997 |
0,577215665 |
0,035289332 |
6,1% |
|
15 |
3,3182290 |
2,708050201 |
0,610178792 |
0,577215665 |
0,032963127 |
5,7% |
|
16 |
3,3807290 |
2,772588722 |
0,608140271 |
0,577215665 |
0,030924606 |
5,4% |
|
17 |
3,4395525 |
2,833213344 |
0,606339179 |
0,577215665 |
0,029123514 |
5,0% |
|
18 |
3,4951081 |
2,890371758 |
0,60473632 |
0,577215665 |
0,027520655 |
4,8% |
|
19 |
3,5477397 |
2,944438979 |
0,603300678 |
0,577215665 |
0,026085013 |
4,5% |
|
20 |
3,5977397 |
2,995732274 |
0,602007384 |
0,577215665 |
0,024791719 |
4,3% |
|
21 |
3,6453587 |
3,044522438 |
0,600836267 |
0,577215665 |
0,023620602 |
4,1% |
|
22 |
3,6908133 |
3,091042453 |
0,599770797 |
0,577215665 |
0,022555132 |
3,9% |
|
23 |
3,7342915 |
3,135494216 |
0,598797295 |
0,577215665 |
0,021581630 |
3,7% |
|
24 |
3,7759582 |
3,17805383 |
0,597904347 |
0,577215665 |
0,020688683 |
3,6% |
|
25 |
3,8159582 |
3,218875825 |
0,597082353 |
0,577215665 |
0,019866688 |
3,4% |
|
26 |
3,8544197 |
3,258096538 |
0,596323178 |
0,577215665 |
0,019107513 |
3,3% |
|
27 |
3,8914568 |
3,295836866 |
0,595619887 |
0,577215665 |
0,018404222 |
3,2% |
|
28 |
3,9271710 |
3,33220451 |
0,594966529 |
0,577215665 |
0,017750864 |
3,1% |
|
29 |
3,9616538 |
3,36729583 |
0,594357968 |
0,577215665 |
0,017142303 |
3,0% |
|
30 |
3,9949871 |
3,401197382 |
0,593789749 |
0,577215665 |
0,016574084 |
2,9% |
|
31 |
4,0272452 |
3,433987204 |
0,593257991 |
0,577215665 |
0,016042326 |
2,8% |
|
32 |
4,0584952 |
3,465735903 |
0,592759293 |
0,577215665 |
0,015543628 |
2,7% |
|
33 |
4,0887982 |
3,496507561 |
0,592290664 |
0,577215665 |
0,015074999 |
2,6% |
|
34 |
4,1182100 |
3,526360525 |
0,591849466 |
0,577215665 |
0,014633801 |
2,5% |
|
35 |
4,1467814 |
3,555348061 |
0,591433358 |
0,577215665 |
0,014217693 |
2,5% |
|
36 |
4,1745592 |
3,583518938 |
0,591040258 |
0,577215665 |
0,013824593 |
2,4% |
|
37 |
4,2015862 |
3,610917913 |
0,590668311 |
0,577215665 |
0,013452646 |
2,3% |
|
38 |
4,2279020 |
3,63758616 |
0,590315854 |
0,577215665 |
0,013100189 |
2,3% |
|
39 |
4,2535430 |
3,663561646 |
0,589981393 |
0,577215665 |
0,012765728 |
2,2% |
|
40 |
4,2785430 |
3,688879454 |
0,589663585 |
0,577215665 |
0,012447920 |
2,2% |
|
41 |
4,3029333 |
3,713572067 |
0,589361216 |
0,577215665 |
0,012145551 |
2,1% |
|
42 |
4,3267428 |
3,737669618 |
0,589073188 |
0,577215665 |
0,011857523 |
2,1% |
|
43 |
4,3499986 |
3,761200116 |
0,588798505 |
0,577215665 |
0,011582840 |
2,0% |
|
44 |
4,3727259 |
3,784189634 |
0,588536259 |
0,577215665 |
0,011320595 |
2,0% |
|
45 |
4,3949481 |
3,80666249 |
0,588285626 |
0,577215665 |
0,011069961 |
1,9% |
|
46 |
4,4166872 |
3,828641396 |
0,588045849 |
0,577215665 |
0,010830185 |
1,9% |
|
47 |
4,4379638 |
3,850147602 |
0,58781624 |
0,577215665 |
0,010600575 |
1,8% |
|
48 |
4,4587972 |
3,871201011 |
0,587596164 |
0,577215665 |
0,010380499 |
1,8% |
|
49 |
4,4792053 |
3,891820298 |
0,58738504 |
0,577215665 |
0,010169375 |
1,8% |
|
50 |
4,4992053 |
3,912023005 |
0,587182333 |
0,577215665 |
0,009966668 |
1,7% |
|
51 |
4,5188132 |
3,931825633 |
0,586987549 |
0,577215665 |
0,009771884 |
1,7% |
|
52 |
4,5380440 |
3,951243719 |
0,586800232 |
0,577215665 |
0,009584567 |
1,7% |
|
53 |
4,5569119 |
3,970291914 |
0,586619962 |
0,577215665 |
0,009404297 |
1,6% |
|
54 |
4,5754304 |
3,988984047 |
0,586446347 |
0,577215665 |
0,009230682 |
1,6% |
|
55 |
4,5936122 |
4,007333185 |
0,586279027 |
0,577215665 |
0,009063362 |
1,6% |
|
56 |
4,6114694 |
4,025351691 |
0,586117664 |
0,577215665 |
0,008901999 |
1,5% |
|
57 |
4,6290132 |
4,043051268 |
0,585961947 |
0,577215665 |
0,008746282 |
1,5% |
|
58 |
4,6462546 |
4,060443011 |
0,585811583 |
0,577215665 |
0,008595918 |
1,5% |
|
59 |
4,6632037 |
4,077537444 |
0,585666302 |
0,577215665 |
0,008450637 |
1,5% |
|
60 |
4,6798704 |
4,094344562 |
0,585525851 |
0,577215665 |
0,008310186 |
1,4% |
|
61 |
4,6962639 |
4,110873864 |
0,585389991 |
0,577215665 |
0,008174327 |
1,4% |
|
62 |
4,7123929 |
4,127134385 |
0,585258503 |
0,577215665 |
0,008042838 |
1,4% |
|
63 |
4,7282659 |
4,143134726 |
0,585131177 |
0,577215665 |
0,007915512 |
1,4% |
|
64 |
4,7438909 |
4,158883083 |
0,58500782 |
0,577215665 |
0,007792155 |
1,3% |
|
65 |
4,7592755 |
4,17438727 |
0,584888249 |
0,577215665 |
0,007672584 |
1,3% |
|
66 |
4,7744270 |
4,189654742 |
0,584772292 |
0,577215665 |
0,007556627 |
1,3% |
|
67 |
4,7893524 |
4,204692619 |
0,584659788 |
0,577215665 |
0,007444123 |
1,3% |
|
68 |
4,8040583 |
4,219507705 |
0,584550585 |
0,577215665 |
0,007334920 |
1,3% |
|
69 |
4,8185510 |
4,234106505 |
0,584444539 |
0,577215665 |
0,007228874 |
1,3% |
|
70 |
4,8328368 |
4,248495242 |
0,584341516 |
0,577215665 |
0,007125851 |
1,2% |
|
71 |
4,8469213 |
4,262679877 |
0,584241388 |
0,577215665 |
0,007025723 |
1,2% |
|
72 |
4,8608102 |
4,276666119 |
0,584144035 |
0,577215665 |
0,006928370 |
1,2% |
|
73 |
4,8745088 |
4,290459441 |
0,584049343 |
0,577215665 |
0,006833678 |
1,2% |
|
74 |
4,8880223 |
4,304065093 |
0,583957204 |
0,577215665 |
0,006741539 |
1,2% |
|
75 |
4,9013556 |
4,317488114 |
0,583867517 |
0,577215665 |
0,006651852 |
1,2% |
|
76 |
4,9145135 |
4,33073334 |
0,583780185 |
0,577215665 |
0,006564520 |
1,1% |
|
77 |
4,9275005 |
4,343805422 |
0,583695116 |
0,577215665 |
0,006479452 |
1,1% |
|
78 |
4,9403211 |
4,356708827 |
0,583612224 |
0,577215665 |
0,006396560 |
1,1% |
|
79 |
4,9529793 |
4,369447852 |
0,583531426 |
0,577215665 |
0,006315762 |
1,1% |
|
80 |
4,9654793 |
4,382026635 |
0,583452644 |
0,577215665 |
0,006236979 |
1,1% |
|
81 |
4,9778250 |
4,394449155 |
0,583375803 |
0,577215665 |
0,006160138 |
1,1% |
|
82 |
4,9900201 |
4,406719247 |
0,583300833 |
0,577215665 |
0,006085168 |
1,1% |
|
83 |
5,0020683 |
4,418840608 |
0,583227665 |
0,577215665 |
0,006012000 |
1,0% |
|
84 |
5,0139730 |
4,430816799 |
0,583156236 |
0,577215665 |
0,005940571 |
1,0% |
|
85 |
5,0257377 |
4,442651256 |
0,583086484 |
0,577215665 |
0,005870819 |
1,0% |
|
86 |
5,0373656 |
4,454347296 |
0,583018351 |
0,577215665 |
0,005802686 |
1,0% |
|
87 |
5,0488599 |
4,465908119 |
0,582951782 |
0,577215665 |
0,005736117 |
1,0% |
|
88 |
5,0602235 |
4,477336814 |
0,582886722 |
0,577215665 |
0,005671057 |
1,0% |
|
89 |
5,0714595 |
4,48863637 |
0,582823122 |
0,577215665 |
0,005607457 |
1,0% |
|
90 |
5,0825706 |
4,49980967 |
0,582760933 |
0,577215665 |
0,005545268 |
1,0% |
|
91 |
5,0935596 |
4,510859507 |
0,582700107 |
0,577215665 |
0,005484442 |
1,0% |
|
92 |
5,1044292 |
4,521788577 |
0,582640602 |
0,577215665 |
0,005424937 |
0,9% |
|
93 |
5,1151819 |
4,532599493 |
0,582582374 |
0,577215665 |
0,005366709 |
0,9% |
|
94 |
5,1258202 |
4,543294782 |
0,582525383 |
0,577215665 |
0,005309718 |
0,9% |
|
95 |
5,1363465 |
4,553876892 |
0,582469589 |
0,577215665 |
0,005253924 |
0,9% |
|
96 |
5,1467631 |
4,564348191 |
0,582414956 |
0,577215665 |
0,005199291 |
0,9% |
|
97 |
5,1570724 |
4,574710979 |
0,582361447 |
0,577215665 |
0,005145783 |
0,9% |
|
98 |
5,1672765 |
4,584967479 |
0,582309029 |
0,577215665 |
0,005093364 |
0,9% |
|
99 |
5,1773775 |
4,59511985 |
0,582257668 |
0,577215665 |
0,005042003 |
0,9% |
|
100 |
5,1873775 |
4,605170186 |
0,582207332 |
0,577215665 |
0,004991667 |
0,9% |
Таблица №3. О натуральных логарифмах.
|
N |
lnN |
E = ((N+1)/N)^N |
LogE N |
∆ = LogE N – ln N |
% |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
2 |
0,693147181 |
2,25 |
0,854755646 |
0,161608465 |
23,3% |
|
3 |
1,098612289 |
2,37037037 |
1,272947226 |
0,174334938 |
15,9% |
|
4 |
1,386294361 |
2,44140625 |
1,55314186 |
0,166847499 |
12,0% |
|
5 |
1,609437912 |
2,48832 |
1,765493824 |
0,156055911 |
9,7% |
|
6 |
1,791759469 |
2,521626372 |
1,937238153 |
0,145478683 |
8,1% |
|
7 |
1,945910149 |
2,546499697 |
2,081811316 |
0,135901167 |
7,0% |
|
8 |
2,079441542 |
2,565784514 |
2,206855947 |
0,127414405 |
6,1% |
|
9 |
2,197224577 |
2,581174792 |
2,317149481 |
0,119924903 |
5,5% |
|
10 |
2,302585093 |
2,59374246 |
2,415885793 |
0,1133007 |
4,9% |
|
11 |
2,397895273 |
2,604199012 |
2,505310074 |
0,107414801 |
4,5% |
|
12 |
2,48490665 |
2,61303529 |
2,587063334 |
0,102156684 |
4,1% |
|
13 |
2,564949357 |
2,620600888 |
2,662382885 |
0,097433528 |
3,8% |
|
14 |
2,63905733 |
2,627151556 |
2,732225677 |
0,093168347 |
3,5% |
|
15 |
2,708050201 |
2,632878718 |
2,797347644 |
0,089297443 |
3,3% |
|
16 |
2,772588722 |
2,637928497 |
2,85835672 |
0,085767997 |
3,1% |
|
17 |
2,833213344 |
2,642414375 |
2,915749358 |
0,082536014 |
2,9% |
|
18 |
2,890371758 |
2,646425821 |
2,969936405 |
0,079564647 |
2,8% |
|
19 |
2,944438979 |
2,650034327 |
3,021261832 |
0,076822853 |
2,6% |
|
20 |
2,995732274 |
2,653297705 |
3,070016595 |
0,074284322 |
2,5% |
|
21 |
3,044522438 |
2,656263214 |
3,116449059 |
0,071926621 |
2,4% |
|
22 |
3,091042453 |
2,658969859 |
3,160772972 |
0,069730519 |
2,3% |
|
23 |
3,135494216 |
2,661450119 |
3,20317365 |
0,067679434 |
2,2% |
|
24 |
3,17805383 |
2,663731258 |
3,243812831 |
0,065759 |
2,1% |
|
25 |
3,218875825 |
2,665836331 |
3,28283253 |
0,063956705 |
2,0% |
|
26 |
3,258096538 |
2,667784967 |
3,320358142 |
0,062261604 |
1,9% |
|
27 |
3,295836866 |
2,669593978 |
3,356500946 |
0,06066408 |
1,8% |
|
28 |
3,33220451 |
2,671277853 |
3,391360159 |
0,059155649 |
1,8% |
|
29 |
3,36729583 |
2,672849144 |
3,425024625 |
0,057728795 |
1,7% |
|
30 |
3,401197382 |
2,674318776 |
3,45757422 |
0,056376838 |
1,7% |
|
31 |
3,433987204 |
2,675696306 |
3,489081023 |
0,055093818 |
1,6% |
|
32 |
3,465735903 |
2,676990129 |
3,519610306 |
0,053874403 |
1,6% |
|
33 |
3,496507561 |
2,678207651 |
3,549221364 |
0,052713803 |
1,5% |
|
34 |
3,526360525 |
2,679355428 |
3,577968231 |
0,051607706 |
1,5% |
|
35 |
3,555348061 |
2,680439286 |
3,605900282 |
0,05055222 |
1,4% |
|
36 |
3,583518938 |
2,68146442 |
3,633062758 |
0,04954382 |
1,4% |
|
37 |
3,610917913 |
2,682435477 |
3,659497218 |
0,048579306 |
1,3% |
|
38 |
3,63758616 |
2,683356626 |
3,685241927 |
0,047655767 |
1,3% |
|
39 |
3,663561646 |
2,684231618 |
3,710332196 |
0,04677055 |
1,3% |
|
40 |
3,688879454 |
2,685063838 |
3,734800682 |
0,045921228 |
1,2% |
|
41 |
3,713572067 |
2,685856348 |
3,758677647 |
0,04510558 |
1,2% |
|
42 |
3,737669618 |
2,686611922 |
3,781991184 |
0,044321566 |
1,2% |
|
43 |
3,761200116 |
2,687333085 |
3,804767428 |
0,043567313 |
1,2% |
|
44 |
3,784189634 |
2,688022135 |
3,827030727 |
0,042841093 |
1,1% |
|
45 |
3,80666249 |
2,688681171 |
3,848803803 |
0,042141314 |
1,1% |
|
46 |
3,828641396 |
2,689312111 |
3,870107899 |
0,041466503 |
1,1% |
|
47 |
3,850147602 |
2,689916715 |
3,890962899 |
0,040815297 |
1,1% |
|
48 |
3,871201011 |
2,690496599 |
3,911387444 |
0,040186433 |
1,0% |
|
49 |
3,891820298 |
2,691053247 |
3,931399035 |
0,039578736 |
1,0% |
|
50 |
3,912023005 |
2,691588029 |
3,951014122 |
0,038991117 |
1,0% |
|
51 |
3,931825633 |
2,692102209 |
3,970248191 |
0,038422558 |
1,0% |
|
52 |
3,951243719 |
2,692596954 |
3,989115832 |
0,037872113 |
1,0% |
|
53 |
3,970291914 |
2,693073347 |
4,007630811 |
0,037338897 |
0,9% |
|
54 |
3,988984047 |
2,693532389 |
4,02580613 |
0,036822084 |
0,9% |
|
55 |
4,007333185 |
2,693975012 |
4,043654084 |
0,036320899 |
0,9% |
|
56 |
4,025351691 |
2,694402081 |
4,061186309 |
0,035834618 |
0,9% |
|
57 |
4,043051268 |
2,694814402 |
4,07841383 |
0,035362562 |
0,9% |
|
58 |
4,060443011 |
2,695212726 |
4,095347102 |
0,034904091 |
0,9% |
|
59 |
4,077537444 |
2,695597753 |
4,11199605 |
0,034458606 |
0,8% |
|
60 |
4,094344562 |
2,695970139 |
4,128370105 |
0,034025543 |
0,8% |
|
61 |
4,110873864 |
2,696330496 |
4,144478234 |
0,03360437 |
0,8% |
|
62 |
4,127134385 |
2,696679398 |
4,16032897 |
0,033194585 |
0,8% |
|
63 |
4,143134726 |
2,697017382 |
4,175930442 |
0,032795716 |
0,8% |
|
64 |
4,158883083 |
2,697344953 |
4,191290399 |
0,032407316 |
0,8% |
|
65 |
4,17438727 |
2,697662584 |
4,206416233 |
0,032028963 |
0,8% |
|
66 |
4,189654742 |
2,697970722 |
4,221315001 |
0,031660259 |
0,8% |
|
67 |
4,204692619 |
2,698269786 |
4,235993444 |
0,031300825 |
0,7% |
|
68 |
4,219507705 |
2,698560171 |
4,250458008 |
0,030950302 |
0,7% |
|
69 |
4,234106505 |
2,698842248 |
4,264714857 |
0,030608352 |
0,7% |
|
70 |
4,248495242 |
2,699116371 |
4,278769895 |
0,030274653 |
0,7% |
|
71 |
4,262679877 |
2,69938287 |
4,292628774 |
0,029948897 |
0,7% |
|
72 |
4,276666119 |
2,699642059 |
4,306296915 |
0,029630796 |
0,7% |
|
73 |
4,290459441 |
2,699894235 |
4,319779512 |
0,029320071 |
0,7% |
|
74 |
4,304065093 |
2,700139679 |
4,333081554 |
0,029016461 |
0,7% |
|
75 |
4,317488114 |
2,700378656 |
4,346207828 |
0,028719714 |
0,7% |
|
76 |
4,33073334 |
2,70061142 |
4,359162933 |
0,028429593 |
0,7% |
|
77 |
4,343805422 |
2,700838208 |
4,371951291 |
0,028145869 |
0,6% |
|
78 |
4,356708827 |
2,701059249 |
4,384577152 |
0,027868326 |
0,6% |
|
79 |
4,369447852 |
2,701274758 |
4,397044609 |
0,027596756 |
0,6% |
|
80 |
4,382026635 |
2,701484941 |
4,409357597 |
0,027330963 |
0,6% |
|
81 |
4,394449155 |
2,701689991 |
4,421519911 |
0,027070756 |
0,6% |
|
82 |
4,406719247 |
2,701890096 |
4,433535203 |
0,026815955 |
0,6% |
|
83 |
4,418840608 |
2,702085431 |
4,445406996 |
0,026566388 |
0,6% |
|
84 |
4,430816799 |
2,702276166 |
4,457138688 |
0,026321889 |
0,6% |
|
85 |
4,442651256 |
2,702462461 |
4,468733557 |
0,0260823 |
0,6% |
|
86 |
4,454347296 |
2,702644469 |
4,480194765 |
0,025847469 |
0,6% |
|
87 |
4,465908119 |
2,702822336 |
4,491525369 |
0,02561725 |
0,6% |
|
88 |
4,477336814 |
2,702996202 |
4,502728319 |
0,025391505 |
0,6% |
|
89 |
4,48863637 |
2,703166202 |
4,513806468 |
0,025170099 |
0,6% |
|
90 |
4,49980967 |
2,703332461 |
4,524762574 |
0,024952904 |
0,6% |
|
91 |
4,510859507 |
2,703495103 |
4,535599303 |
0,024739796 |
0,5% |
|
92 |
4,521788577 |
2,703654244 |
4,546319235 |
0,024530658 |
0,5% |
|
93 |
4,532599493 |
2,703809996 |
4,556924869 |
0,024325376 |
0,5% |
|
94 |
4,543294782 |
2,703962466 |
4,567418622 |
0,02412384 |
0,5% |
|
95 |
4,553876892 |
2,704111756 |
4,577802836 |
0,023925944 |
0,5% |
|
96 |
4,564348191 |
2,704257966 |
4,58807978 |
0,023731588 |
0,5% |
|
97 |
4,574710979 |
2,70440119 |
4,598251653 |
0,023540675 |
0,5% |
|
98 |
4,584967479 |
2,704541517 |
4,608320588 |
0,023353109 |
0,5% |
|
99 |
4,59511985 |
2,704679036 |
4,618288652 |
0,023168802 |
0,5% |
|
100 |
4,605170186 |
2,704813829 |
4,628157851 |
0,022987665 |
0,5% |
Таким образом, расчёты по первой сотне натуральных целых чисел дают результаты если не опровергающие, то ставящее под сомнение численное значение числа ℮, соответственно, значение и постоянной Э́йлера — Маскеро́ни, и значение так называемых натуральных логарифмов, со всеми вытекающими отсюда последствиями.
Получается, что число ℮ - не число, а всего лишь функция, опять же от натуральных, целых чисел. Да, Леонард Эйлер и знал об этом, поэтому для него-то число ℮ была всего лишь буквой ℮.
19
Сконвертировано и опубликовано на http://SamoLit.com/