На правах рукописи.
Решение теоремы Ферма.
В Википедии - свободной энциклопедии - в статье «Великая теорема Ферма» о данной
теореме сказано следующее:
«Для любого натурального числа
уравнение
не имеет натуральных решений , и .
В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях
«Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых
математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы.
Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное
доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях
книги:
«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще
никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому
поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et
generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est
dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non
caperet.»
Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для
, что
добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.
Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая
, Дирихле и Лежандр в 1825 — для
, Ламе — для
.
В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла,
доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение
при
может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в
сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале
«Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого
математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием
гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при
участии Ж.-П.Серра).
Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет
напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с
помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году
был опубликован завершающий вариант».
1
В данной работе я попытаюсь найти то первое решение самого Пьера Ферма.
Искать решение я буду, не прибегая к высшей математике, так как в середине
XVII века ни дифференциально-интегрального исчисления, ни
аналитической геометрии практически не было.
Начну с теоремы Пифагора.
В Википедии - свободной энциклопедии - в статье «Теорема Пифагора»
сказано:
«Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна
сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин
катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и :
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна,
она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не
зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника».
В той же статье приведено одно из многочисленных доказательств этой теоремы:
«Доказательство через равнодополняемость.
Рис.1
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на
рисунке 1.
2
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых
углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной
(a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади
внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать».
При доказательстве теоремы Пифагора я буду пользоваться чуть
изменённым доказательством через равнодополняемость.
b a
b
a
c
c
a
a b
Рис. 2
Площади четырёх прямоугольных треугольников дополняют площадь
квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного
треугольника «с», до площади квадрата, сторона которого равна сумме
катетов прямоугольного треугольника «a + b».
Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна:
Fab = ½*a*b.
Общая площадь четырёх прямоугольных треугольников:
3
∑Fab = 4*½*a*b = 2*a*b.
Площадь квадрата со стороной «a+b»:
Fa+b = (a+b)2 = a2 +2a*b + b2.
Площадь квадрата со стороной «с»:
Fc = c2.
Fc = Fa+b - ∑Fab
c2 = a2 +2a*b + b2 - 2*a*b = a2 + b2,
то есть c2 = a2 + b2, теорема Пифагора доказана.
Таким образом, квадрат раскладывается на два квадрата.
От показателя степени равному 2 перейдём к показателю степени равному 3.
То есть от площади к объёму. Квадраты станут кубами.
На рисунке 2 показана горизонтальная проекция наших фигур.
На рисунке 3 – вертикальная проекция.
a +b
VVVа
(a+b) – c
c
a b
Рис. 3.
4
Куб со сторонами , равными суммой «a» и « b», включает в себя во-первых,
куб со стороной «с», во-вторых, параллелепипед, в-третьих, четыре
треугольные призмы, в основании, которых лежат катеты «a» и « b»,
соответственно, и в этом случае применим метод равнодополняемости.
Имеем: объём куба со стороной (a + b):
V(a+b) = (a + b)3;
Объём треугольной призмы:
Vab = Fab * c = ½*a*b* c
V(a+b)-с = [(a +b) – c]* (a + b)2 =
Объём параллелепипеда (a +b)3 – c* (a + b)2
Тогда объём куба со стороной «с» будет равен:
Vc = V(a+b) - V(a+b)-с - 4* Vab = (a + b)3 - (a +b)3 + c* (a + b)2 – 4*½*a*b* c =
Vc = c* (a + b)2 - 2*a*b* c = c*(a2 + b2).
Но, Vc = с3, следовательно, Vc = c*(a2 + b2), или:
с3 = c*(a2 + b2), или
с2 = a2 + b2, то есть получилась теорема Пифагора.
Таким образом, как и писал Пьер Ферма: «… невозможно разложить куб на
два куба…»
Объём куба «с3» раскладывается на площади квадратов, построенных на
катетах «a» и «b», умноженных на высоту, то есть на сторону куба «с»,
квадрат которой как раз равен сумме квадратов катетов.
a2 + b2 – сумма квадратов катетов, то есть теорема Пифагора, выступает в
случае куба множителем, который назовём множителем Пифагора.
Проверим наше решение на числах.
Возьмём Пифагорову тройку чисел: 3, 4 и 5. Степень равную 3.
с3 = 53 = 125; a3 = 33 = 27; b3 = 43 = 64;
с3 = 125 ≠ 27 + 64 = 91
a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;
5
с3 = 125 = 5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, что и требовалось доказать.
Примем показатель степени чисел, равный 4.
С4 = 54 = 625; a4 = 34 = 81; b4 = 44 = 256;
С4 = 625 ≠ 81 + 256 = 337;
a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;
с4 = 625;
5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, чтобы в итоге получилось 625, необходимо 125
умножить на 5, то есть на «с».
с4 = 625 = 5* 5* (9 + 16) = 25* 25 = 625.
Перейдём на буквенные обозначения:
с4 = c2*(a2 + b2).
Эту формулу можно получить из уравнения теоремы Пифагора: с2 = a2 + b2,
соответственно, a = (c2 – b2) ½ , b = (c2 – a2) ½.
Площадь прямоугольника, построенного на сторонах «a» и « b» или
удвоенная площадь прямоугольного треугольника равна:
a*b = (c2 – b2) ½ * (c2 – a2) ½ = (c4 – c2*a2 - c2*b2 + a2*b2)1/2,
соответственно, a2*b2 = c4 – c2*a2 - c2*b2 + a2*b2, или
c4 = c2*(a2 + b2), то есть словами Ферма «биквадрат» не раскладывается на
два «биквадрата».
с4 = c4-2*(a2 + b2) или в общем виде:
сn = cn-2*(a2 + b2).
Рассмотрим частные случаи: при степени 2, 1 и 0.
с2 = c2-2 * (a2 + b2) = c0 * (a2 + b2) = a2 + b2, перед нами опять же теорема
Пифагора.
c1 = c1-2 * (a2 + b2) = c-1 * (a2 + b2) = (a2 + b2)/ (a2 + b2)1/2 = (a2 + b2)1/2
c0 = c0-2 * (a2 + b2) = c-2 * (a2 + b2) = (a2 + b2) / (a2 + b2) = 1.
6
сn = cn-2 * (a2 + b2).
Теперь, когда решены частные случаи при показателях степени 0, 1, 2, 3, 4,
теорему Ферма можно решить ещё проще, из уравнения с2 = a2 + b2.
Если с2 = a2 + b2, то, с1 = (a2 + b2)1/2, соответственно,
сn = (a2 + b2)n/2.
Таким образом, при любых значениях n > 2
сn ≠ an + bn,
так как сn = (a2 + b2)n/2.
Поэтому вслед за Пьером Ферма можно повторить: «…невозможно
разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую
степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем». Решение
получилось гораздо больше книжных полей «Арифметики» Диофанта, о чем
и говорил Пьер Ферма.
А.В. Колодин 10 августа 2013 года.
Ссылка на источники:
Теорема Пифагора:
олучилосьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%
Великая теорема Ферма:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EB%E8%EA%E0%FF_%F2%E5%EE%F0%E5%EC%
E0_%D4%E5%F0%EC%E0
7